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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilit és
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 1
TP Info
Suite récurrente et notion de limite
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Énoncé
Soit (u_n) la suite définie par u_0=1 et la relation, valable pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1+\dfrac{1}{u_{n}}.
Questions préliminaires
1. Donner une valeur arrondie au centième des cinq premiers termes de la suite (u_n).
2. Représenter dans un repère les cinq premiers termes de la suite (u_n).
3. Que remarque-t-on ?
2. Représenter dans un repère les cinq premiers termes de la suite (u_n).
3. Que remarque-t-on ?
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Quel que soit l'entier n, calculer le terme de rang n de la suite (u_n) et découvrir la notion de limite d'une suite à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode de résolution 1
Python
On souhaite calculer les termes de la suite (u_n) grâce à la fonction \color{purple}\mathbf{calcul\_terme} écrite en langage Python.
def calcul_terme(n):
u = 1
for i in range(n):
u = 1 + 1/u
return u
1. Programmer cet algorithme.
2. Quelle valeur de n devons-nous choisir pour que le programme retourne la valeur de u_5 ?
3. Si l'on veut changer la valeur de u_0, comment modifie-t-on l'algorithme ?
4. En calculant u_{10}, u_{15} et u_{20}, les termes semblent se rapprocher d'une valeur \ell. Donner une valeur approchée de \ell.
2. Quelle valeur de n devons-nous choisir pour que le programme retourne la valeur de u_5 ?
3. Si l'on veut changer la valeur de u_0, comment modifie-t-on l'algorithme ?
4. En calculant u_{10}, u_{15} et u_{20}, les termes semblent se rapprocher d'une valeur \ell. Donner une valeur approchée de \ell.
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Méthode de résolution 2
Tableur
On considère la feuille de calcul suivante.
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1. Quelle valeur devons-nous saisir dans la cellule B2 ?
2. Quelle formule devons-nous saisir dans la cellule B3, puis étirer vers le bas, pour obtenir les valeurs successives de la suite (u_n) ?
3. Conjecturer le sens de variation de la suite.
4. Les termes de la suite semblent se rapprocher d'une valeur particulière notée \ell. Donner une approximation de la valeur du nombre \ell.
2. Quelle formule devons-nous saisir dans la cellule B3, puis étirer vers le bas, pour obtenir les valeurs successives de la suite (u_n) ?
3. Conjecturer le sens de variation de la suite.
4. Les termes de la suite semblent se rapprocher d'une valeur particulière notée \ell. Donner une approximation de la valeur du nombre \ell.
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Le nombre \ell approché précédemment, vers lequel les termes de la suite semblent tendre, est appelé limite de la suite \bm{(u_n)}.
C'est une notion qui sera abordée en classe de Terminale.
On peut montrer que le nombre \ell est la solution positive de l'équation x=1+\dfrac{1}{x}.
1. Vérifier que les nombres \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} et \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} sont solutions de cette équation. On admet qu'il n'y a pas d'autre solution.
2. Quelle est alors la valeur exacte de \ell ?
C'est une notion qui sera abordée en classe de Terminale.
On peut montrer que le nombre \ell est la solution positive de l'équation x=1+\dfrac{1}{x}.
1. Vérifier que les nombres \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} et \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} sont solutions de cette équation. On admet qu'il n'y a pas d'autre solution.
2. Quelle est alors la valeur exacte de \ell ?
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Le nombre \ell est appelé nombre d'or. Il est utilisé en géométrie dans la construction de polygones réguliers et se retrouve dans de bien nombreuses œuvres d'art. Il est d'ailleurs étonnant de le retrouver également dans la nature, par exemple dans la structure des fleurs de tournesol, des brocolis, etc.
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