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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Entraînement 2
Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
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Consulter les pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.
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52
Flash
Soit f la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x^{2}}+3 x-1. Calculer \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
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53
Flash
Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=2 x^{2}-3 x-6. Calculer \displaystyle\int_{-2}^{4} g(x) \mathrm{d} x.
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54
Flash
Soit h la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}. Calculer la valeur moyenne de h sur l'intervalle [1~; 4].
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55
Flash
1. Pour tout x \in[4~; 10], donner un encadrement de \frac{1}{x}.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{4}^{10} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
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56
Flash
Pour tout réel x positif, on sait que -x \leqslant x \sin (x) \leqslant x. Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{2} x \sin (x) \mathrm{d} x.
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57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative \mathcal{C}_f d'une fonction f.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après le graphique, nous savons que l'aire du triangle bleu est de 0{,}5 u.a et que celle du triangle vert est de 4{,}5 u.a. Déterminer graphiquement \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \mathrm{d} x.
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58
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé borné \mathrm{I} = [a~; b]. On admet que, dans ces conditions, f admet nécessairement un minimum, noté m.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f admet des primitives sur \text{I}.
Pour toute fonction h continue et positive sur [a~; b], la fonction \mathrm{H}_a, définie sur [a~; b] par \mathrm{H}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} h(t) \mathrm{d} t, est la primitive de h qui s'annule en a. 1. On définit la fonction g sur \text{I} par g(x)=f(x)-m.
Justifier que g admet une primitive sur \text{I}, dont on donnera alors une expression.
2. En déduire que f admet une primitive sur \text{I} et en donner une expression.
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59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie sur [-5~;+\infty[ par f(x)=\displaystyle\int_{-5}^{x}\left(t^{2}+2 t-5\right) \mathrm{d} t.
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Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.
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60
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{4}\left(x^{2}-4 x-1\right) \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{2} 5 \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{7} t+2\right) \mathrm{d} t
2. \displaystyle\int_{-2}^{2} 5 \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{7} t+2\right) \mathrm{d} t
4. \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(x^{4}-2 x^{2}+9\right) \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 t^{3}+3 t^{2}-5 t+1\right) \mathrm{d} t
6. \displaystyle\int_{1}^{3} 1 \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 t^{3}+3 t^{2}-5 t+1\right) \mathrm{d} t
6. \displaystyle\int_{1}^{3} 1 \mathrm{d} x
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61
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^{2}} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{5}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{5}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{2}^{49} \frac{3}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(\mathrm{e}^{x}+3 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(\mathrm{e}^{x}+3 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x
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62
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{2} 3 x^{2}\left(5 x^{3}-1\right)^{2} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{1} \mathrm{e}^{5 x-1} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-2}^{3} \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{1} \mathrm{e}^{5 x-1} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-2}^{3} \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x}\left(5 \mathrm{e}^{x}+3\right)^{2} \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{2}{(3-5 x)^{2}} \mathrm{d} x
6. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}}{x^{2}} \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{2}{(3-5 x)^{2}} \mathrm{d} x
6. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}}{x^{2}} \mathrm{d} x
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63
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=2-3 x^{2}.
1. Calculer \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
2. En déduire la valeur moyenne de f sur [0~; 2].
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64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle \text{I} donné.
1. f: x \mapsto 1-5 x^{2}, avec \mathrm{I}=[-2~; 5].
2. f: x \mapsto 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{5}{3 x^{2}}, avec \mathrm{I}=[-4 ;-1].
2. f: x \mapsto 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{5}{3 x^{2}}, avec \mathrm{I}=[-4 ;-1].
4. f: x \mapsto \frac{3}{5 \sqrt{x}}, avec \mathrm{I}=[1~; 4].
5. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}, avec \mathrm{I}=\left[\frac{1}{2}~; 1\right].
5. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}, avec \mathrm{I}=\left[\frac{1}{2}~; 1\right].
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65
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=10 x\left(x^{2}+3\right)^{4}. 1. Donner une primitive \text{F} de f sur \R.
2. En déduire \displaystyle\int_{-0,5}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
3. Déterminer alors la valeur moyenne de f sur [-0{,}5~; 1] approchée à 10^{-2} près.
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66
[Calculer.]
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle \text{I} donné. 1. f: x \mapsto x\left(3 x^{2}-1\right)^{2}, avec \mathrm{I}=[-1~; 2].
2. f: x \mapsto-3 x \mathrm{e}^{x^{2}-2}, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{x^{2}}{\left(8-x^{3}\right)^{2}}, avec \mathrm{I}=[0~; 1].
4. f: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{5 \sqrt{x^{4}+2}}, avec \mathrm{I}=[1~; 4].
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67
En physique
[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de 4 m.
La force \text{F} nécessaire pour pousser cet objet, en N, s'exprime en fonction de la distance parcourue x, exprimée en m.
Dans cet exercice, \text{F} est une fonction affine. Au départ, la force est de 400 N pour s'annuler au bout de 4 m. 1. Exprimer \mathrm{F}(x) en fonction de x.
2. Le travail \text{W} en joule de cette force est égal à \displaystyle\int_{0}^{4} \mathrm{F}(x) \mathrm{d} x. Calculer le travail \text{W} de cette force.
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68
En physique
[Modéliser.]
Lors d'un voyage de 8 heures, Charline roule à une vitesse v, exprimée en km·h—1, en fonction du temps t, exprimé en heure. v est définie par v(t)=-6 t(t-8). Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c'est‑à‑dire la valeur moyenne de v sur [0~; 8].
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69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes. 1. \displaystyle\int_{-2}^{3}(3 x-6) \mathrm{d} x+3 \displaystyle\int_{-2}^{3}(2-x) \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-1}^{1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{1}^{-1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x-2 \displaystyle\int_{2}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x-2 \displaystyle\int_{2}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x
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70
Démo
[Raisonner.]
f est une fonction continue sur \R et périodique de période \mathrm{T}>0. 1. On considère la fonction , définie sur \R par \ell(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
a. Démontrer que \ell est dérivable sur \R et démontrer que, pour tout réel a, \ell^{\prime}(a)=0.
b. Que peut‑on en déduire pour \ell ?
2. Justifier alors que \displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
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71
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et paire définie sur \R. 1. a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, \displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
b. Démontrer que \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
2. Utiliser les résultats précédents pour calculer \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|x| \mathrm{d} x.
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72
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et impaire définie sur \R. 1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, \displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
2. En déduire alors la valeur de \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
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[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-2\} par :
f(x)=\frac{3 x^{2}+12 x+11}{(x+2)^{2}}.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.2. a. Démontrer que, pour tout réel x \neq -2, f(x)=3-\frac{1}{(x+2)^{2}}.
b. Calculer alors \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.
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[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x \in[1~; 6], on a :
\frac{1}{6} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant 1.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{6} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
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75
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x \in[0~; 2], on a :
\frac{x^{3}}{5} \leqslant \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \leqslant x^{3}.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \mathrm{d} x.
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