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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 11

Entraînement 3

Intégration par parties

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Rappel

Pour des intégrations par parties utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien, consulter les

exercices transversaux p. 432.

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Flash

À l'aide d'une intégration par parties, calculer

\int_{- 1}^{1} 3 x e^{- x} d x

. On posera

u^{'} (x) = e^{- x}

v (x) = 3 x

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Flash

Calculer

\int_{0}^{6} 4 x e^{x} d x

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Flash

Calculer

\int_{- 1}^{2} \frac{x}{( 2 + x ) ^{3}} d x

.
On posera

u^{'} (x) = \frac{1}{( 2 + x ) ^{3}}

v (x) = x

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Pour les exercices
79
à
83

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données.

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79
[Calculer.]

I = \int_{- 2}^{2} 4 x e^{3 x - 1} d x

J = \int_{0}^{1} x e^{4 + 5 x} d x

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[Calculer.]

I = \int_{- 1}^{1} 2 x^{3} e^{x^{2} - 1} d x

Aide

u^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}

v (x) = x^{2}

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81
[Calculer.]

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{( 5 x + 3 ) ^{3}} d x

J = \int_{- 1}^{0} \frac{5 x}{( 3 x - 9 ) ^{3}} d x

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82
[Calculer.]
1.

I = \int_{- 1}^{1} 2 x (8 x + 2)^{2} d x

J = \int_{- 2}^{1} - x (8 x + 2)^{5} d x

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83
[Calculer.]

I = \int_{- 1}^{3} 3 x^{3} e^{x^{2}} d x

J = \int_{0}^{2} 4 (2 x + 1)^{3} e^{x^{2} + x - 1} d x

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Pour les exercices
84
à
85

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données, puis vérifier éventuellement le résultat avec le calcul formel de GeoGebra.

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84
GeoGebra
[Calculer.]
1.

I = \int_{0}^{1} \frac{5 x ^{3}}{( 3 x ^{2} - 9 ) ^{3}} d x

J = \int_{- 1}^{0} \frac{5 x ^{3}}{( 3 x ^{2} - 9 ) ^{3}} d x

GeoGebra

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85
GeoGebra
[Calculer.]
1.

I = \int_{- 1}^{1} 3 x^{3} (x^{2} - 1)^{2} d x

J = \int_{- 2}^{1} 2 x^{5} (x^{3} + 5)^{3} d x

GeoGebra

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86
[Chercher.]

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer

\int_{1}^{4} x d x

Aide

On posera

u^{'} (x) = 1

v (x) = x

2. Calculer

\int_{- 1}^{4} x + 5 d x

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87
[Calculer.]
On souhaite calculer l'intégrale suivante :

I = \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x

. 1. On pose

J = \int_{0}^{1} x \times e^{x} d x

. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que

J = 1

2. a. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer l'intégrale

I

en fonction de l'intégrale

J

b. En déduire alors la valeur de

I

. Pour calculer

I

, on a donc réalisé une double intégration par parties.

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Pour les exercices
88
à
90

Calculer les intégrales données à l'aide d'une double intégration par parties.

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88
[Chercher.]
1.

\int_{- 1}^{2} \frac{3}{2} x^{5} e^{x^{2}} d x

\int_{- 1}^{0} x^{5} e^{x^{2} - 1} d x

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89
[Chercher.]
1.

\int_{- 1}^{2} x^{5} (x^{2} - 4)^{3} d x

\int_{0}^{1} - x^{8} (2 x^{3} + 1)^{4} d x

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90
[Chercher.]

\int_{0}^{3} \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{4}} d x

\int_{1}^{3} \frac{36 x ^{5}}{( 2 - 3 x ^{2} ) ^{4}} d x

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Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

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Intégration par parties

Rappel

Pour les exercices 79 à 83

Pour les exercices 84 à 85

GeoGebra

GeoGebra

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Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
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Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

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