Lorsque la démonstration d'une propriété dépend de la valeur de x, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre x.
On peut, par exemple, séparer les cas où x est un entier pair des cas où x est impair, ou encore séparer les cas où x est un réel positif des cas où il est strictement négatif.

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s'assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

• Si n est pair, il existe un entier relatif k tel que n = 2k.
  Ainsi, \frac{n(n+1)}{2}=\frac{2 k(2 k+1)}{2}=k(2 k+1) et ce nombre est un entier.
• Si n est impair, il existe un entier relatif k tel que n = 2k + 1.
  Ainsi, \frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2 k+1)(2 k+2)}{2}=\frac{(2 k+1) \times 2(k+1)}{2}=(2 k+1)(k+1) et ce nombre est un entier.

Finalement, pour tout entier relatif n, \frac{n(n+1)}{2} est un entier.

• On sépare les raisonnements suivant la parité de n.
• Un entier étant soit pair, soit impair, on a bien traité tous les cas : on peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout n.

38

Montrer que, pour tout réel x, x^{2} \geqslant 0.

39

Soit x un réel. Montrer que \sqrt{x^{2}}=|x|.

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Soit f une fonction définie sur \R, décroissante sur ]-\infty~; 5] et croissante sur [5~; +\infty[. On sait que f(5) = -3. Montrer que, pour tout réel x, f(x) \geqslant-3.

43

Montrer que, pour tout réel x, |x-1| \leqslant x^{2}-x+1.