Soit n \in \N. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c'est‑à‑dire que si n est impair, alors n^2 est impair.
Supposons donc que n est impair. Il existe alors k \in \N tel que n = 2k + 1.
Ainsi, n^{2}=(2 k+1)^{2}=(2 k)^{2}+2 \times 2 k \times 1+1=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1.
En posant k^{\prime}=2 k^{2}+2 k, on a k^{\prime} \in \mathbb{N} et n^{2}=2 k^{\prime}+1.
n^2 est donc impair. Ainsi, si n est impair, alors n^2 est impair. Par contraposée, si n^2 n'est pas impair, alors n n'est pas impair. Autrement dit, si n^2 est pair, alors n est pair.