\mathbb{N}=\{0\: ; 1\: ; 2\: ; \cdots\} : ensemble des entiers naturels.

\mathbb{Z}=\{\cdots \: ;-2\: ;-1 \: ; 0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; \cdots\} : ensemble des entiers relatifs.

\mathbb{D}=\left\{\dfrac{a}{10^{n}}, a \in \mathbb{Z} \text { et } n \in \mathbb{N}\right\} : ensemble des nombres décimaux.

\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}, a \in \mathbb{Z} \text { et } b \in \mathbb{N}^{*}\right\} : ensemble des nombres rationnels.

\R \: : ensemble des nombres réels.

On a : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Certains nombres réels ne sont pas rationnels.
On dit que ces nombres sont irrationnels.

Exemple 1

-5 est un entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un réel.

\dfrac{1}{3} est un nombre rationnel et un nombre réel.

Exemple 2

\pi, \sqrt{2} et \sin \left(60^{\circ}\right) sont des nombres irrationnels.

Soient a et b deux nombres réels.

x \in[a\: ; b] \Leftrightarrow a \leqslant x \leqslant b
x \in] a\: ; b[\Leftrightarrow a \lt x \lt b

x \in[a,+\infty] \Leftrightarrow x \geqslant a
x \in]-\infty\: ; a] \Leftrightarrow x \leqslant a

On définit de même [ a\: ; b[, ] a\: ; b], ]-\infty\: ; a[ et ] a,+\infty[.

Exemple

x \in[-2\: ; 6] \Leftrightarrow-2 \leqslant x \leqslant 6

x \in]-\infty\: ;-2[\Leftrightarrow x\lt-2

x \in[-8\: ;-3] \Leftrightarrow-8 \leqslant x\lt-3

Soient \text{I} et \text{J} deux intervalles.

• L'intersection de \text{I} et \text{J,} notée \text{I} \cap \text{J}, est l'ensemble des réels qui appartiennent à\text{ I} et à \text{J.}
• La réunion de \text{I} et \text{J,} notée \text{I} \cup \text{J}, est l'ensemble des réels qui appartiennent à \text{I} ou à \text{J.}

Exemple

\text{I}=[3\: ; 8[ et \text{ J}=]-\infty\: ; 4[

On a : \mathrm{I} \cup \mathrm{J}=]-\infty\: ; 8[ et \mathrm{I} \cap \mathrm{J}=[3\: ; 4[.

La valeur absolue, d'un nombre réel x , notée |x|, est la distance entre x et 0.

La distance entre deux réels a et b est le nombre |a - b|.
Si x \geqslant 0, alors |x|= x . Si x \leqslant 0, alors |x|= -x .

Exemple

|-2| = 2
La distance entre -3 et \pi est |(-3)-\pi|=-(-3-\pi)=\pi+3 puisque -3 -\pi \lt 0 .

1

Déterminer la nature des nombres suivants.
\sqrt{5}\: ; \dfrac{5}{4}\: ;-\dfrac{50}{10} et \sqrt{9}.

2

Exprimer les nombres suivants sans la notation valeur absolue.

1. \left|-\dfrac{3}{5}\right|

2. |\sqrt{2}-3|

3. \left|5-\dfrac{3}{2}\right|

3

Déterminer la réunion et l'intersection des intervalles \text{I} et \text{J} suivants.

1. \mathrm{I}=[-4 \: ; 7[ et \mathrm{J}=[1\: ;+\infty[.

2. \mathrm{I}=[-\infty \:; 2[ et \mathrm{J}=[2 \:;+\infty[.

4

Exprimer la distance entre les réels 5 et \dfrac{13}{2} sans la notation valeur absolue.

Pour tous les nombres réels a et b :
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \: ;
(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \: ;
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Exemple

(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9
(2 y-7)^{2}=4 y^{2}-28 y+49
(x+15)(x-5)=x^{2}-25

Pour tout nombre réel positif a , on a : (\sqrt{a})^{2}=a.
Pour tout nombre réel a , on \sqrt{a^{2}}=|a|.
Pour tous réels a et b positifs :

• \sqrt{a b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \: ;
• si b \neq 0 : \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \: ;
• \sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}.

Exemple

(\sqrt{3})^{2}=3 et \sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3.

Si x est un réel strictement positif alors :
\sqrt{4 x}=\sqrt{4} \times \sqrt{x}=2 \sqrt{x} et \sqrt{4+x} \leqslant 2+\sqrt{x}.

5

Développer les expressions algébriques suivantes où x \in \R.

1. (3 x-7)^{2}

2. \left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)

3. (x+\sqrt{2})^{2}

6

Simplifier les nombres suivants.

1. \sqrt{\dfrac{5}{49}}

2. \sqrt{5 x^{2}} où x est un réel.

7

Factoriser, à l'aide d'identités remarquables, les expressions algébriques suivantes définies sur \R .

1. x^2 + 14x + 49

2. 9x^2 - 30x + 25

3. t^{2}-\dfrac{16}{81}

Il existe deux méthodes pour résoudre des systèmes :
la méthode par combinaisons linéaires et la méthode par substitution.

Exemple

Le système \left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=1} \\ {-2 x-y=0}\end{array}\right. a pour solution le couple (-1\: ; 2).

8

En utilisant la méthode par combinaisons linéaires, résoudre le système suivant.

\left\{\begin{array}{c}{5 x+3 y=4} \\ {-2 x+6 y=-3}\end{array}\right.

9

En utilisant la méthode par substitution, résoudre le système suivant.

\left\{\begin{array}{c}{3 y-x=2} \\ {4 x-5 y=4}\end{array}\right.

10

d et d^{\prime} sont deux droites d'équations respectives 2x - 4y = 0 et 7y - 4x = -5 .

Déterminer le point d'intersection de d et d^{\prime}.