Mathématiques 2de
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Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
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Exercices transversaux
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Exercices transversaux
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Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
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Chapitres • 2. Variations de fonctions • 5. Repérage et configuration dans le plan • 8. Équations de droites
Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( \mathrm { O }\: ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), on considère les points \text{A}(2\: ; 5) et \text{B}(0 \:; - 1).
La droite d est la droite d'équation y = \dfrac { 1 } { 2 } x - 1.
Le point \text{M} appartient à la droite d et a pour abscisse x . On souhaite déterminer la position du point \text{M} afin que la distance \text{AM} soit minimale.
Partie A : En utilisant GeoGebra pour conjecturer
GeoGebra
1. Faire la figure avec GeoGebra en plaçant \text{A} et \text{B} et en traçant d .
2. Placer un point \text{M} mobile sur la droite d .
3. Construire le segment \text{[AM]} et afficher la distance \text{AM} en utilisant l'outil Distance ou Longueur.
4. Ouvrir la fenêtre graphique 2 et créer le point \text{P} en saisissant l'instruction (x(\text{M}), \text{AM}).
5. Afficher la trace du point \text{P }et déterminer la position du point \text{M} cherchée.
6. Que remarque-t-on ?
Partie B : Étude mathématique
1. Justifier que le point \text{B} appartient à la droite d .
2. Exprimer l'ordonnée du point \text{M} en fonction de x .
3. Montrer que la longueur du segment \text{[AM]} vérifie \mathrm { AM } ^ { 2 } = \dfrac { 5 } { 4 } x ^ { 2 } - 10 x + 40.
4. On pose f la fonction définie sur \R par f(x) = \text{AM}^2 .
a. Démontrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ( x ) = \dfrac { 5 } { 4 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 20.
b. En déduire alors que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ( x ) \geqslant f ( 4 ).
5. On admet que \text{AM} est minimale lorsque \text{AM}^2 est minimale aussi. Déterminer les coordonnées du point \text{M} pour que \text{AM}^2 soit minimale, ainsi que la longueur \text{AM} correspondante.
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Chapitres • 5. Repérage et configuration dans le plan • 11. Probabilités et échantillonnage
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \text{(A ; B, D),} on considère le carré \text{ABCD} de côté 1 unité et le quart de disque \mathcal { D } de centre \text{A} et de rayon 1 unité. On place au hasard un point \text{M}(x \:; y) à l'intérieur du carré.
La probabilité de placer \text{M} à l'intérieur de \mathcal { D } est le rapport de l'aire de \mathcal { D } par l'aire du carré \text{ABCD.}
1. Quelle est la probabilité que \text{M} soit dans le quart de disque \mathcal { D } \: ?
2. On note \text{M}(x\: ; y) les coordonnées du point \text{M.}
a. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que \text{M} soit dans le carré ?
b. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que \text{M} soit dans le quart de disque ?
3. On considère l'algorithme suivant.
a. À quoi correspond la variable \text{C ?}
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
2. On note \text{M}(x\: ; y) les coordonnées du point \text{M.}
a. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que \text{M} soit dans le carré ?
b. Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que \text{M} soit dans le quart de disque ?
3. On considère l'algorithme suivant.
\boxed{
\begin{array} { l } {\text {Définir Proba (N) :}} \\
\quad \text {C} \leftarrow \text {0} \\
\quad \text{Pour i allant de 1 à N :} \\
\quad \quad \text {x} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} : \\
\quad \quad \text {y} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} : \\
\quad \quad \text {Si } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 : \\
\quad \quad \quad \text {Alors C} \leftarrow \text {C +1} \\
\quad \quad \text {Fin Si} \\
\quad \text {Fin Pour} \\
\quad \text {Retourner C/N} \\
\end{array}
}
a. À quoi correspond la variable \text{C ?}
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
c. À quelle valeur approchée peut-on s'attendre à la fin
de l'algorithme ?
d. Modifier cet algorithme afin d'obtenir une approximation de \pi.
4. Programmer cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de \pi.
d. Modifier cet algorithme afin d'obtenir une approximation de \pi.
4. Programmer cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de \pi.
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Chapitres • 5. Repérage et configuration dans le plan • 6. Notion de vecteur • 7. Colinéarité de vecteur
Cet exercice se prête bien au travail de groupe.
Théorème de Varignon (1654-1722).
On considère quatre points distincts du plan \text{A,} \text{B,} \text{C} et \text{D} ainsi que les points \text{I,} \text{J,} \text{K} et \text{L,} milieux respectifs des segments \text{[AB],} \text{[AD],} \text{[BC]} et \text{[CD].}
On appelle \text{M} le milieu de \text{[BD].} On souhaite étudier la nature du quadrilatère \text{IJLK} selon différentes approches.
On considère quatre points distincts du plan \text{A,} \text{B,} \text{C} et \text{D} ainsi que les points \text{I,} \text{J,} \text{K} et \text{L,} milieux respectifs des segments \text{[AB],} \text{[AD],} \text{[BC]} et \text{[CD].}
On appelle \text{M} le milieu de \text{[BD].} On souhaite étudier la nature du quadrilatère \text{IJLK} selon différentes approches.
Partie A : En géométrie plane
1. Montrer que \text{(IJ)} et \text{(LK)} sont parallèles à \text{(BD)} et que \mathrm { IJ } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { BD } et \mathrm { LK } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { BD }.
2. En déduire la nature de \text{IJLK.}
Partie B : En géométrie vectorielle
1. a. Montrer que \overrightarrow { \mathrm { IB } } + \overrightarrow { \mathrm { MD } } + \overrightarrow { \mathrm { DJ } } = \overrightarrow { 0 }.
b. En déduire que \overrightarrow { \mathrm { IJ } } = \overrightarrow { \mathrm { BM } }.
2. Montrer que \overrightarrow { \mathrm { KL } } = \overrightarrow { \mathrm { BM } }.
3. En déduire la nature de \text{IJLK.}
Partie C : Dans un repère
On munit le plan du repère ( \mathrm { A }\: ; \overrightarrow { \mathrm { AD } } , \overrightarrow { \mathrm { AB } } ) et on note (x \:; y) les coordonnées du point \text{C.}
1. Déterminer les coordonnées des autres points de la figure en fonction de x et y si nécessaire.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow { \mathrm { IJ } } et \overrightarrow { \mathrm { KL } }.
3. En déduire la nature de \text{IJLK.}
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Chapitres • 2. Variations de fonctions • 4. Fonctions de référence • 5. Repérage et configuration dans le plan
Deux voitures circulent sur deux routes perpendiculaires à vitesse constante. Le véhicule \text{A} roule à 60 km/h, et le véhicule \text{B} à 40 km/h. À l'instant t = 0 , \text{A} est situé à 2 km de l'intersection \text{O} et \text{B} à 1 km.
Le but de l'exercice est de déterminer l'instant t où la distance à vol d'oiseau entre les véhicules est la plus courte. t est exprimé en heures.
Le but de l'exercice est de déterminer l'instant t où la distance à vol d'oiseau entre les véhicules est la plus courte. t est exprimé en heures.
1. Dans le repère ( \mathrm { O }\: ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ), déterminer, en fonction de t , les coordonnées de \text{A} et de \text{B} à l'instant t .
2. Exprimer, en fonction de t , la distance d(t)= \text{AB} séparant les deux véhicules à l'instant t .
3. On note \text{D}(t) le carré de d(t) .
a. Vérifier que, pour tout t \gt 0 , \text{D}(t)= 5\:200t^2 - 320t + 5 .
b. Montrer que, pour tout t \gt 0 , \mathrm { D } ( t ) = 5\:200 \left( t - \dfrac { 2 } { 65 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 13 }.
c. En déduire les variations de la fonction \text{D.} On pourra s'aider de l'exercice transversal .
d. Donner, en minutes et en secondes, l'instant où les véhicules sont les plus proches.
2. Exprimer, en fonction de t , la distance d(t)= \text{AB} séparant les deux véhicules à l'instant t .
3. On note \text{D}(t) le carré de d(t) .
a. Vérifier que, pour tout t \gt 0 , \text{D}(t)= 5\:200t^2 - 320t + 5 .
b. Montrer que, pour tout t \gt 0 , \mathrm { D } ( t ) = 5\:200 \left( t - \dfrac { 2 } { 65 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 13 }.
c. En déduire les variations de la fonction \text{D.} On pourra s'aider de l'exercice transversal .
d. Donner, en minutes et en secondes, l'instant où les véhicules sont les plus proches.
4. Faire une simulation dans GeoGebra en créant un curseur t puis les deux points \text{A} et \text{B} dont les coordonnées sont données en fonction de t .
Faire afficher la longueur du segment \text{[AB]} et vérifier ainsi le résultat obtenu à la question 3..
Faire afficher la longueur du segment \text{[AB]} et vérifier ainsi le résultat obtenu à la question 3..
GeoGebra
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Chapitres • 4. Fonctions de référence • 5. Repérage et configuration dans le plan • 8. Équations de droite
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On note \mathcal { H }, la courbe représentative de la fonction inverse dans ce repère : \mathcal { H } est donc une hyperbole.
On considère le point \text{A} de coordonnées (1 \:; 1).
Le but de cet exercice est de trouver une méthode permettant de tracer \mathcal { H } géométriquement « point par point », autrement dit sans avoir recours à aucun calcul.
Partie A : Conjecture à l'aide d'un graphique
1. À l'aide de GeoGebra (ou à la main), placer le point \text{A} puis tracer la courbe \mathcal { H }.
GeoGebra
2. Placer un point \text{P} sur \mathcal { H } distinct de \text{A.}
3. Tracer la droite \text{(AP)} puis créer les points \text{M} et \text{N,} intersections respectives de la droite \text{(AP)} avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
4. Que peut -on conjecturer à propos des milieux de \text{[AP]} et de \text{[MN] ?}
5. Cette conjecture semble-t-elle vérifiée quand \text{P} décrit \mathcal { H }\:?
Partie B : Démonstration
On considère un point \mathrm { P } \left( x _ { \mathrm { P } }\: ; y _ { \mathrm { P } } \right) de \mathcal { H }.
1. Justifier que le point \text{A}(1\: ; 1) appartient à \mathcal { H }.
2. Exprimer y_\text{P} en fonction de x_\text{P}.
3. Déterminer l'équation réduite de la droite \text{(AP)}, puis les coordonnées des intersections \text{M} et \text{N} de \text{(AP)} avec les axes.
4. Démontrer la conjecture émise à la fin de la partie A.
Partie C : Construction
En partant d'un point \text{M} quelconque sur l'axe des abscisses, rédiger un programme de construction du point \text{P.}
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Chapitres • 0. Nombres et calculs • 4. Fonctions de référence • 9. Informations chiffrées
Une action boursière a subi une hausse de p\: \% puis une baisse de p\: \% ce qui l'a fait globalement diminuer de 50{,}41 \: \%. On notera par la suite p\: \% = t. 1. Traduire les trois évolutions avec un coefficient multiplicateur.
2. Écrire une équation d'inconnue t traduisant le problème.
3. Résoudre cette équation et déterminer la valeur de p .
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Chapitres • 6. Notion de vecteur • 7. Colinéarité de vecteurs • 9. Informations chiffrées
Soient \text{A}(-4\: ; - 0{,}5) , \text{B}(1 \:; 1) et \text{D}(-1 \:; - 1{,}5) trois points d'un plan muni d'un repère orthonormé.
\text{E} est le point du plan tel que :
- \overrightarrow { \mathrm { AB }} et \overrightarrow { \mathrm { DE } } sont colinéaires et de même sens ;
- la longueur de \text{[AB]} est 60 % plus petite que celle de \text{[DE].}
« La longueur de \text{[DE]} est
2. Écrire \overrightarrow { \mathrm { AB }} en fonction de \overrightarrow { \mathrm { DE } }.
3. Calculer les coordonnées de \text{E.}
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Chapitres • 3. Fonctions affines • 9. Informations chiffrées
Après son achat, un article perd de sa valeur petit à petit. On dit qu'il décote. Pour un modèle de photo copieur, la décote est de t\: \% par an.
Si celui-ci est mal entretenu, il décote quatre fois plus vite, soit une décote de 4t\: \%.
Une société achète un photocopieur neuf à 5\:042\:€. 1. Pour tout t \gt 0 , on note \text{V}(t) la valeur du photocopieur, en fonction de sa décote, après une année d'utilisation avec un mauvais entretien.
Donner l'expression de \text{V} en fonction de t et en déduire sa nature.
2. Expliquer pourquoi l'ensemble de définition de \text{V} est ]0\: ; 25].
3. Déterminer les variations de \text{V} sur ]0\: ; 25].
4. Après cette année d'utilisation avec un mauvais entretien, la valeur du photocopieur est à présent de 548\:€. Quelle décote a été subie par le photocopieur ? Arrondir au centième près.
5. Avec un bon entretien et la même décote, quelle aurait été la valeur du photocopieur au bout d'un an ?
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Chapitres • 9. Informations chiffrées • 10. Statistiques descriptives
Le test de Bechdel vise à mettre en évidence l'éventuelle sous-représentation de personnages féminins dans un film. Un film « valide le test » lorsque :
- il possède au moins deux personnages féminins ;
- ces deux personnages ont au moins une discussion ensemble ;
- cette discussion concerne autre chose qu'un homme.
Au 6 novembre 2018, il y avait 7\:871 films dans la base de données, dont 4\:547 validaient le test.
1. Quel est le pourcentage de films ayant validé le test et celui de films n'ayant pas validé le test ? Arrondir au dixième.
2. Parmi les films n'ayant pas validé le test, 25\: \% d'entre eux ont validé deux règles, 50\: \% d'entre eux ont validé une seule règle et le reste n'en a validé aucune.
Compléter le tableau ci-dessous.
2. Parmi les films n'ayant pas validé le test, 25\: \% d'entre eux ont validé deux règles, 50\: \% d'entre eux ont validé une seule règle et le reste n'en a validé aucune.
Compléter le tableau ci-dessous.
| Nombre de règles validées | Aucune règle validée | Une règle validée | Deux règles validées | Test validé (3 règles) |
| Nombre de films |
3. Calculer le nombre moyen de règles validées par les films ayant été testés. Arrondir au millième.
4. Avant 2018, le pourcentage de films validant le test était de 57{,}8\: \%. En 2018, 55 films sur 88 testés ont validé le test. Calculer le taux d'évolution entre 2018 et avant. Arrondir au dixième.
5. Interpréter le résultat puis effectuer une analyse synthétique de l'exercice.
4. Avant 2018, le pourcentage de films validant le test était de 57{,}8\: \%. En 2018, 55 films sur 88 testés ont validé le test. Calculer le taux d'évolution entre 2018 et avant. Arrondir au dixième.
5. Interpréter le résultat puis effectuer une analyse synthétique de l'exercice.
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Chapitres • 10. Statistiques descriptives • 11. Probabilités et échantillonnage
Nous voulons, dans cet exercice, comparer le taux de garçons et de filles dans la filière L avec le taux global en filière générale et technologique.
La dernière session du bac L est celle de 2020.
1. En 2017, d'après les données de l'ONISEP, dans l'académie de Nantes, il y avait 656 garçons et 2 \:536 filles en terminale L. Construire le tableau des effectifs et des fréquences de cette étude. Exprimer les fréquences en pourcentages arrondis à l'unité.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Comparer les pourcentages du diagramme ci-dessous avec ceux calculés précédemment. Conclure.
3. Grâce à l'échantillon de l'académie de Nantes, peut-on estimer la probabilité d'obtenir une fille lorsqu'on choisit un élève d'une classe de terminale L française au hasard ? Si oui, combien vaut approximativement cette probabilité ?
3. Grâce à l'échantillon de l'académie de Nantes, peut-on estimer la probabilité d'obtenir une fille lorsqu'on choisit un élève d'une classe de terminale L française au hasard ? Si oui, combien vaut approximativement cette probabilité ?
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Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 10. Statistiques descriptives
Soit f , la fonction définie sur \R par : f(x) = -x^2 + 4x + 1 .
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle [0 \: ; 4].
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle [0 \: ; 4].
Partie A.
On cherche à estimer la moyenne des valeurs prises par la fonction f sur l'intervalle [0 \:; 4].
1. Graphiquement, quelle semble être cette valeur moyenne ?
2. On commence par faire la moyenne des valeurs prises aux bornes de l'intervalle.
a. Lire l'image par f de 0 puis celle de 4.
b. Quelle est la moyenne de ces deux valeurs ?
c. Cela correspond-il à la valeur conjecturée précédemment ? Expliquer le problème.
3. On décide donc de découper l'intervalle en morceaux de taille égale, de plus en plus petits.
a. Lire l'image de 2 par la fonction f , puis calculer la moyenne des valeurs prises par f en 0 \:; 2 et 4.
Cette valeur est-elle plus satisfaisante ? Expliquer.
b. Choisir désormais deux nouvelles valeurs, afin de découper l'intervalle en 4 parties de taille égale et lire leur image.
Calculer la nouvelle moyenne obtenue avec les 5 valeurs lues précédemment. Que constate-t-on ?
Partie B.
On se propose de poursuivre avec un algorithme prenant en entrée un nombre entier n de valeurs que l'on souhaite considérer et calculant la moyenne des valeurs prises par la fonction f en n valeurs équiréparties dans l'intervalle [0 \:; 4].
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-après où x est un nombre réel contenu dans l'intervalle [0 \:; 4].
\boxed{
\begin{array} { l } { \text {Définir Moyenne(n):} } \\
\quad \text {S} \leftarrow \text {1} \\
\quad \text {x} \leftarrow \text {0} \\
\quad \text {k} \leftarrow \text {4 / (n–1)} \\
\quad \text {Pour i allant de 1 à ... :} \\
\quad \quad \text {x} \leftarrow \text {x + ...}\\
\quad \quad \text {S} \leftarrow \text {S + ...}\\
\quad \text {Fin Pour} \\
\quad \text {Retourner ...} \\
\end{array}
}
2. Programmer cet algorithme avec Python.
3. a. Tester cet algorithme pour n = 3 puis n = 5 .
b. Retrouve-t-on bien les valeurs calculées dans la partie A ?
4. Exécuter maintenant l'algorithme pour n = 10 puis n = 150 et enfin n = 3\:000. Que constate-t-on ?
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Chapitres • 1. Généralités sur les fonctions • 2. Variations de les fonctions • 11. Probabilités et échantillonnage
Un jeu consiste à tirer des fléchettes dans la cible ci-dessous.
\text{ABCD} est un carré de côté 6 et \text{I} est le milieu de \text{[CD].}
\text{M} est un point mobile sur le segment \text{[AB],} et \text{N} et \text{P} sont tels que \text{AMPN} soit un carré.
On appelle zone l'ensemble des polygones de la même couleur. Par exemple, la zone verte est constituée d'un carré et d'un triangle.
On note x la longueur \text{AM.} Ainsi, 0 \leqslant x \leqslant 6.
La probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à sa surface totale. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.
On appelle zone l'ensemble des polygones de la même couleur. Par exemple, la zone verte est constituée d'un carré et d'un triangle.
On note x la longueur \text{AM.} Ainsi, 0 \leqslant x \leqslant 6.
La probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à sa surface totale. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.
1. Exprimer, en fonction de x , les aires des différentes zones.
2. En déduire les probabilités d'atteindre les différentes zones en fonction de x .
3. À la calculatrice, conjecturer la valeur qu'il faut donner à x pour que la probabilité d'atteindre la zone jaune soit maximale.
2. En déduire les probabilités d'atteindre les différentes zones en fonction de x .
3. À la calculatrice, conjecturer la valeur qu'il faut donner à x pour que la probabilité d'atteindre la zone jaune soit maximale.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
