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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 8
Cours 2
Étude des fonctions trigonométriques
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ADérivées
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Propriété
Si f est la fonction cosinus et g la fonction sinus, alors f et g sont dérivables sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R},f'(x)=-\sin (x) et g'(x)=\cos (x).
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Propriété
Soient a et b deux réels quelconques. En notant f : x \mapsto \cos (a x+b) et g : x \mapsto \sin (a x+b), alors f et g sont dérivables sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, f'(x)=-a \sin (a x+b) et g'(x)=a \cos (a x+b).
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Démonstration
Pour toute fonction h dérivable et pour tous réels a et b , on sait que la dérivée de x \mapsto h(a x+b) est x \mapsto a h'(a x+b).
Donc, pour tout réel x, f'(x)=-a \sin (a x+b) et g'(x)=a \cos (a x+b).
Donc, pour tout réel x, f'(x)=-a \sin (a x+b) et g'(x)=a \cos (a x+b).
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Exemple
Soit la fonction f définie par f(x)=\cos (4 x-1).
On a donc f'(x)=-4 \sin (4 x-1).
On a donc f'(x)=-4 \sin (4 x-1).
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Application et méthode
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Énoncé
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
1. f : x \mapsto \cos (x)+\sin (x)
2. g : x \mapsto \sin (3 x+12)
3. h : x \mapsto \cos (-2 x-3)
1. f : x \mapsto \cos (x)+\sin (x)
2. g : x \mapsto \sin (3 x+12)
3. h : x \mapsto \cos (-2 x-3)
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Solution
1. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}. Pour tout x \in \mathbb{R}, on a : f'(x)=-\sin (x)+\cos (x).
2. La fonction g est la composée d'une fonction affine avec la fonction sinus. Elle s'écrit sous la forme \sin (a x+b) avec a=3 et b=12 : elle est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, g'(x)=3 \cos (3 x+12).
3. La fonction h est la composée d'une fonction affine avec la fonction cosinus. Elle s'écrit sous la forme \cos (a x+b) avec a=-2 et b=-3 : elle est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, h'(x)=-(-2) \times \sin (-2 x-3)=2 \sin (-2 x-3).
2. La fonction g est la composée d'une fonction affine avec la fonction sinus. Elle s'écrit sous la forme \sin (a x+b) avec a=3 et b=12 : elle est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, g'(x)=3 \cos (3 x+12).
3. La fonction h est la composée d'une fonction affine avec la fonction cosinus. Elle s'écrit sous la forme \cos (a x+b) avec a=-2 et b=-3 : elle est donc dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, h'(x)=-(-2) \times \sin (-2 x-3)=2 \sin (-2 x-3).
Pour s'entraîner
exercices
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- Il est primordial de préciser sur quel intervalle on a le droit de dériver.
- On applique correctement la formule en identifiant les coefficients a et b .
- Il faut évidemment faire attention aux signes.
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BTableaux de signes et variations
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Les fonctions cosinus et sinus étant 2\pi-périodiques, on peut restreindre l'étude du signe et des variations sur l'intervalle [-\pi \:; \pi].
Fonction cosinus :
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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1. Les variations de \cos dépendent du signe de -\sin .
2. Les variations de \sin dépendent du signe de \cos .
2. Les variations de \sin dépendent du signe de \cos .
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Application et méthode
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Énoncé
On considère la fonction g : x \mapsto \dfrac{1}{\cos (x)}.
1. Donner l'ensemble de définition de g .
2. Dresser le tableau de variations de g sur ]-\dfrac{\pi}{2} \:; \dfrac{\pi}{2}[.
1. Donner l'ensemble de définition de g .
2. Dresser le tableau de variations de g sur ]-\dfrac{\pi}{2} \:; \dfrac{\pi}{2}[.
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Solution
1. \cos (x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi avec k \in \mathbb{Z}. La fonction g est donc définie pour tous les réels sauf pour x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi avec k \in \mathbb{Z}.
2. La fonction g est de la forme \dfrac{1}{v} où v est une fonction dérivable et non nulle sur ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.
v(x)=\cos (x) et v^{\prime}(x)=-\sin (x). On en déduit que, pour tout x \in ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}\left[, g^{\prime}(x)=\dfrac{-(-\sin (x))}{\cos ^{2}(x)}=\dfrac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}\right. .
Le signe de g'(x) est alors le même que le signe de \sin(x) sur ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.
2. La fonction g est de la forme \dfrac{1}{v} où v est une fonction dérivable et non nulle sur ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.
v(x)=\cos (x) et v^{\prime}(x)=-\sin (x). On en déduit que, pour tout x \in ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}\left[, g^{\prime}(x)=\dfrac{-(-\sin (x))}{\cos ^{2}(x)}=\dfrac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}\right. .
Le signe de g'(x) est alors le même que le signe de \sin(x) sur ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.
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1.On identifie les fonctions de référence en jeu : ici, la fonction inverse et la fonction cosinus.
La fonction inverse étant définie pour tout réel non nul, il suffit d'écarter les zéros de la fonction cosinus ; c'est-à-dire les valeurs de x vérifiant \cos(x) = 0 .
Une fois les valeurs interdites déterminées, la fonction g est alors définie pour tous les réels excepté ces valeurs.
2.On calcule la dérivée et on détermine son signe en faisant attention aux valeurs interdites.
On déduit les variations de g à partir du signe de la dérivée.
2.
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah