Définitions et premières propriétés

1. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x , associe \cos(x).
2. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x , associe \sin(x).

\mathbb{R} est un intervalle centré en 0 et, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (-x)=\cos (x) et \sin (-x)=-\sin (x).

En utilisant le cercle trigonométrique, on sait que les nombres x et x + 2k\pi ont le même point image pour tout k \in \mathbb{Z}, car 2\pi correspond au périmètre de ce cercle. D'où le résultat de la propriété.

On définit la fonction f sur \mathbb{R} par f(x)=2+\cos (x). 1. Calculer f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right).
2. Exprimer f(-x) en fonction de f(x). Que peut-on en conclure sur f ?
3. Démontrer que f est périodique de période 2\pi.

Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoïdes.

1. Les deux fonctions étant 2 \pi-périodiques, les courbes représentatives sont invariantes par la translation de vecteur 2 \pi \vec{i}.


2. La fonction cosinus étant paire, sa courbe représentative admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées.
3. La fonction sinus étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère \text{O}.

La courbe verte est l'image de la courbe rouge par translation de vecteur \dfrac{\pi}{2} \vec{i}, d'où l'égalité \sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\cos (x).

Comme la fonction f est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à \text{O} . On en déduit la partie bleue de la courbe. De plus, f est 2\pi-périodique. On peut alors en déduire la partie verte par translation.


exercices

22 à 24 p. 215

et

40 p. 217

L'imparité et la périodicité sont fournies par l'énoncé. Il suffit alors de les utiliser pour compléter le graphique.

• L'imparité se traduit par une symétrie centrale de centre \text{O}.
• La périodicité se traduit par une translation des parties bleues et rouges autant de fois que nécessaire.