Compléments sur la dérivation

1

Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer sa fonction dérivée f^\prime.

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^{2}.
a) Justifier que g est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer sa dérivée g^\prime.

b) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel x par \varphi(x)=g(f(x)) et h(x)=g^{\prime}(f(x)).

c) On admet que \varphi est dérivable pour tout réel a. Démontrer que, pour tout réel a, \varphi^{\prime}(a)=2(2 a+1)\left(a^{2}+a+1\right).

d) En déduire une relation entre \varphi^{\prime}(a), f^{\prime}(a) et h(a).

Soit k la fonction définie par k(x)=\frac{1}{x}.
a) Donner l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de la fonction k.

b) Déterminer la fonction dérivée k^\prime de k.

c) Expliciter, sans développer, les expressions définies pour tout réel x par : \psi(x)=k(f(x)) et p(x)=k^{\prime}(f(x)).

d) On admet que \psi est dérivable pour tout réel a. Déterminer \psi^{\prime}(a).

e) En déduire une relation entre \psi^{\prime}(a), f^{\prime}(a) et p(a).

1

Justifier que f est dérivable sur ]-\infty\,; 0[ et déterminer f^\prime(x).

Soit g la fonction définie sur ]-\infty\,; 0[ par g(x)=2 x^{3}-1.
a) Dresser son tableau de variations sur ]-\infty\,; 0[.

b) En déduire le signe de g sur ]-\infty\,; 0[.

3

En déduire les variations de f sur ]-\infty\,; 0[.

Soit \text{A} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse -1.
a) Écrire une équation de la tangente \mathrm{T}_\mathrm{A} à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{A}.

b) Représenter \mathcal{C}_f et \mathrm{T}_\mathrm{A} sur la calculatrice ou à l'aide de GeoGebra.

c) Soit \text{M} un point d'abscisse x situé sur \mathcal{C}_f. On note \text{P} le point d'abscisse x situé sur \mathrm{T}_\mathrm{A}. Pour tout x \lt 0, exprimer d(x)=y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{P}} en fonction de x.

d) Étudier le signe de 2 x^{3}+3 x^{2}-1 puis en déduire les variations de d sur ]-\infty\,; 0[.

e) Après avoir calculé d(-1), déterminer la position de \mathcal{C}_f par rapport à la tangente \mathrm{T}_\mathrm{A} selon les valeurs de x.

Afin de réduire au maximum les risques d'incidents, les toboggans sont soumis à des normes et des régulations très strictes, notamment vis‑à‑vis de leur pente maximale. Pour un toboggan de un mètre de haut destiné à une aire de jeu, on estime qu'il est aux normes si la valeur absolue de sa pente ne dépasse à aucun moment 1{,}5.
Un constructeur veut vendre un nouveau modèle de toboggan modélisé ci‑dessous par \mathcal{C}_f, la courbe représentative d'une fonction f définie sur [0\,; 2] par : Avant de le vendre, le constructeur veut s'assurer que ce toboggan respecte bien les normes en vigueur.

1

Justifier que f est continue sur [0\,; 2].

2

Donner une expression de la fonction f^\prime, dérivée de la fonction f. Montrer que f^\prime est continue sur [0\,; 2].

3

a) Donner une équation des tangentes à la courbe en x = 0, en x = 0{,}5, en x = 1{,}5 et en x = 2.

b) Comparer les pentes des tangentes à la courbe en x = 0 et en x = 0{,}5. Puis comparer les pentes des tangentes à la courbe en x = 1{,}5 et en x = 2. Comment semble évoluer la pente du toboggan entre 0 et 1 ? Comment semble évoluer la pente du toboggan entre 1 et 2 ? En quel point la valeur absolue de la pente semble‑t‑elle être maximale ?

4

a) Donner une expression de la fonction dérivée de la fonction dérivée de f notée f^{\prime\prime}. En déduire le tableau de variations de la fonction f^{\prime}.

b) Sur quel intervalle la fonction f^{\prime} est‑elle croissante ? Sur quel intervalle la fonction f^{\prime} est‑elle décroissante ? En quel point admet‑elle un extremum ? Combien vaut‑il ?

c) Sur quel intervalle la fonction f semble‑t‑elle convexe ? Sur quel intervalle la fonction f semble‑t‑elle concave ?

5

En conclusion, ce nouveau modèle de toboggan respecte‑t‑il bien les normes en vigueur ?