Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 8
Logarithme népérien
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Capacités attendues
1. Connaître la définition du logarithme népérien d'un nombre réel strictement positif.
2. Connaître et utiliser les propriétés algébriques du logarithme.
3. Étudier la fonction logarithme népérien (limites, dérivée, sens de variation).
4. Connaître le lien entre la courbe du logarithme népérien et celle de l'exponentielle.
5. Utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
6. Étudier une fonction de la forme \ln (u)
7. Comparer la croissance de x^n et de \ln (x) en 0 et en +\infty.
2. Connaître et utiliser les propriétés algébriques du logarithme.
3. Étudier la fonction logarithme népérien (limites, dérivée, sens de variation).
4. Connaître le lien entre la courbe du logarithme népérien et celle de l'exponentielle.
5. Utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
6. Étudier une fonction de la forme \ln (u)
7. Comparer la croissance de x^n et de \ln (x) en 0 et en +\infty.
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L'échelle ouverte de Richter mesure l'importance d'un tremblement de terre. Sur cette échelle, toute augmentation de 1 unité correspond à une multiplication de l'énergie libérée par 10. On dit que cette échelle est logarithmique.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Savoir étudier le signe d'une expression.
2. Connaître les propriétés de l'exponentielle.
3. Connaître les variations de la fonction exponentielle et sa représentation graphique.
4. Connaître la relation fonctionnelle de l'exponentielle.
2. Connaître les propriétés de l'exponentielle.
3. Connaître les variations de la fonction exponentielle et sa représentation graphique.
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John Neper était un théologien engagé dans les querelles religieuses de son temps. Violemment anticatholique et partisan des églises réformées, il édite en 1593 une sorte de commentaire de l'Apocalypse de SaintJean rédigé d'une manière mathématique et annonçant la fin des temps pour la fin du XVIIe siècle.
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1
Étudier le signe d'une expression
Étudier le signe des expressions suivantes.
1. \text{A}(x)=x^{2}-10 x+24 où x \in \mathbb{R}
2. \text{B}(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x+3} où x \in]-\infty ;-3[\cup]-3 ;+\infty[
3. \text{C}(x)=x^{3}-x où x \in \mathbb{R}
3. \text{C}(x)=x^{3}-x où x \in \mathbb{R}
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2
Étudier le signe d'une expression
Étudier le signe des expressions suivantes en fonction de x, en précisant à chaque fois l'ensemble auquel appartient x.
1. \mathrm{A}(x)=(x-1) \mathrm{e}^{3 x}
2. \mathrm{B}(x)=(x-2)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)
2. \mathrm{B}(x)=(x-2)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)
3. C(x)=\frac{x+3}{\text e^{x}-1}
4. \mathrm{D}(x)=\mathrm{e}^{x}-x
4. \mathrm{D}(x)=\mathrm{e}^{x}-x
Aide
On peut éventuellement étudier les variations de x \rightarrow D(x).
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3
Simplifier une expression
Pour tout réel x, simplifier l'expression suivante : \left(e^{x}\right)^{4} \times e^{5}.
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5
Vrai ou Faux
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Pour tout x \in \mathbb{R}, \mathrm{e}^{-x}>0
Pour tout x \in \mathbb{R}, \mathrm{e}^{-x^2}\lt0
La fonction définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}} est croissante sur [0 ;+\infty[.
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4
Utiliser quelques propriétés de l'exponentielle
Soient a et b deux réels et f la fonction définie sur \R par f(x)=(a x+b) \mathrm{e}^{x}.
Quelles valeurs doivent prendre les nombres réels a et b pour que la représentation graphique de la fonction f coupe les axes du repère aux points de coordonnées (0\:;-1) et (2\:;0) dans un repère orthonormé ?
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6
Démontrer une propriété
Soit f la fonction définie pour tout x \in \mathbb{R} par :f(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}} Montrer que f est strictement croissante sur \R.
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7
Étudier une représentation graphique
Soit \lambda \in \mathbb{R}. On considère la fonction f_{\lambda} définie pour tout x \in \mathbb{R} par f_{\lambda}(x)=\lambda \times \mathrm{e}^{x}-2.
À l'aide de la représentation graphique de f ci-dessous, trouver la valeur de \lambda.
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8
Résoudre une équation
1. Résoudre dans \R l'équation suivante : \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}=0
2. Résoudre dans \R l'équation suivante : \text e^{4 x+1}=\text e^{x^{2}+x+3}
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9
Résoudre une inéquation
1. Résoudre dans \R l'inéquation :
\mathrm{e}^{x^{2}} \geqslant \mathrm{e}^{2-x}
2. Résoudre dans \R l'inéquation :
e^{-2 x+1} \leqslant e^{4 x+7}
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10
Problème
1. Étudier, en fonction de x \in \mathbb{R}, le signe de :
\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)
2. Quel est l'ensemble de définition \text{I} de la fonction f définie par f(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}x ?
\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)
2. Quel est l'ensemble de définition \text{I} de la fonction f définie par f(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}x ?
3. Établir que, pour tout x \in \mathrm{I}, f^{\prime}(x)=\mathrm{A}(x).
4. En déduire les variations de f sur \text{I.}
4. En déduire les variations de f sur \text{I.}
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