Prendre une feuille de papier blanc et placer deux points. On veut dessiner un trait le plus droit possible entre ces deux points. Voici plusieurs manières de le tracer :

à main levée ;
avec une règle ;
avec un rapporteur ;
avec le bord d'un livre.

a. Quelle solution est la plus pratique ?
b. Qu'est-ce qu'une règle permet de faire d'autre ?

Personne qui écrit sur une feuille pendant qu'une autre la regarde avec un air mécontent

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Un plan est comme une feuille de papier étendue à l'infini, dans toutes les directions et posée à plat.
On appelle point l'endroit où se coupent deux lignes.
Deux lignes qui se coupent sont dites sécantes et le point où elles se coupent s'appelle le point d'intersection.

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Exemple :

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La croix précise l'emplacement d'un point
La lettre précise son nom

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Une règle (graduée ou non) permet de tracer un trait « droit ».
Des points sont alignés si on peut virtuellement faire passer un « trait droit » à travers ces points, c'est-à-dire avec une règle !

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Exemple :

Dans le jeu d'échecs suivant, les points représentent des pièces. Les points placés sur les droites rouges sont alignés.
Par contre, ci-dessous, tous les pions ne sont pas alignés ! Par exemple P_4, P_3 et P_2.

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Une droite représente tous les points qui sont alignés ensemble. On la représente par un trait « droit ».

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Exemple :Ces points sont alignés, ils sont sur une droite, mais ce n'est pas toute la droite, il y a une infinité de points qui sont alignés avec eux : ils forment une droite.

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Quand on a tracé un trait droit, on peut toujours le continuer de chaque côté.

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Remarque :

Ce n'est pas l'extrémité de la droite !
La droite n'a pas d'extrémité : comme on dessine sur une feuille, il faut bien s'arrêter !

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La droite qui passe par les points A et B se note : (AB) ou (BA), c'est la même chose.

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Remarque :

On utilise des parenthèses pour désigner une droite qui passe par les points A et B (A et B sont des points, on les écrit donc avec des lettres majuscules).
Quand on nomme une droite on utilise des lettres minuscules, ou parfois des lettres grecques (par exemple \Delta). On ne met pas de parenthèses !

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Vocabulaire : Si un point A est sur une droite d on dit que A appartient à d et on note A ∈ d. Sinon A n'appartient pas à d et on note A ∉ d.

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Exemple : A \in d et B \notin d.

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Tracer une droite et placer un point

Placer 2 points A et B et représenter la droite (AB). Représenter un point C qui n'appartienne pas à la droite (AB).

On place deux points sur le plan.
On représente la droite (AB) en traçant à la règle une ligne qui contient A et B.
On place un point C clairement hors de cette ligne.

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Exercice 1
Placer trois points D, E et F

Tracer les droites (DE) et (DF). Placer un point G tel que G appartienne à (DE) mais pas à (DF).

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Exercice 2
Placer les points M, N et O

Tracer les droites (MN), (NO) et (OM). Y a-t-il un point appartenant à (MN) et à (NO) ?

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B
Demi-droites

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Avec une droite, on ne peut exprimer autre chose que l'alignement. Dans l'exemple de l'échiquier, comment représenter l'ensemble des points alignés avec les pièces de la ligne du haut, et qui se trouvent « à droite » du premier fou ?

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Ici, le premier cavalier et la première tour ne sont pas « à droite » du fou \text{F}_1. On a coupé la droite précédente en deux au niveau du fou.
Si l'on partage une droite en deux, on obtient une demi-droite. Une demi-droite a une extrémité (ici : le fou \text{F}_1) et s'étend sans fin de l'autre côté.

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On note la demi-droite qui part de A et passe par B : [AB).

On a un crochet du côté de A : c'est l'extrémité.
On a une parenthèse du côté de B : il n'y a pas d'extrémité, la demi-droite s'étend à l'infini.

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Exemple :

On représente ici la demi-droite [AB).
Et ici on représente la demi-droite [BA).

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Exercice 3
Placer trois points A, B et C

Tracer [AB) et [CB). Placer un point D qui appartienne à [AB) mais pas à [CB).

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Exercice 4
Placer quatre points E, F, G et H

Tracer les demi-droites [EF), [FG), [GH) et [HE).

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C
Segments

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On peut aussi se demander : quels sont les points situés entre les deux fous ? Comment les représente-t-on ?

Le segment représente tous les points situés entre \text{F}_1 et \text{F}_2. C'est comme si on avait coupé une droite en deux endroits et gardé la partie du milieu. Un segment a donc deux extrémités !

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On note le segment qui joint A à B [AB] ou [BA], c'est la même chose.

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Exemple : On représente ici le segment [BA].
[AB] ou [BA] : c'est pareil !

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Tracer un segment

Placer deux points E et F et représenter le segment [EF].

On place deux points E et F sur le plan.
Avec une règle, on relie E et F.

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Exercice 5
Placer trois points G, H et I

Tracer la demi-droite [GI), le segment [HI] et placer un point J qui n'appartienne pas à [HI].

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Exercice 6
Placer cinq points G, H, I, J et K puis représenter (HI); [KG); [IJ]; [GI)

Y placer un point L qui appartienne à [IJ] mais pas à (HJ).

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1. La règle

AAlignement et droites

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Refaire Tracer une droite et placer un point

Exercice 1Placer trois points D, E et F

Exercice 2Placer les points M, N et O

BDemi-droites

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Exercice 3Placer trois points A, B et C

Exercice 4Placer quatre points E, F, G et H

CSegments

Découvrir

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Refaire Tracer un segment

Exercice 5Placer trois points G, H et I

Exercice 6Placer cinq points G, H, I, J et K puis représenter (HI); [KG); [IJ]; [GI)

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A
Alignement et droites

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Tracer une droite et placer un point

Exercice 1
Placer trois points D, E et F

Exercice 2
Placer les points M, N et O

B
Demi-droites

Exercice 3
Placer trois points A, B et C

Exercice 4
Placer quatre points E, F, G et H

C
Segments

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Tracer un segment

Exercice 5
Placer trois points G, H et I

Exercice 6
Placer cinq points G, H, I, J et K puis représenter (HI); [KG); [IJ]; [GI)