Lors d'une épidémie de mathématite aiguë (passion obsessionnelle pour les mathématiques), des tests sont effectués sur les personnes qui ont été en contact avec des individus malades. Les premiers symptômes de cette maladie très contagieuse n'apparaissant pas immédiatement, on souhaite repérer puis isoler les individus asymptomatiques.
On étudie un échantillon de 1 000 élèves choisis au hasard dans un lycée. Au moment où on effectue les tests, on estime que 20 % des élèves de ce lycée sont contaminés.
Les tests ne sont malheureusement pas fiables à 100 %. En effet, on constate que :

• si l'élève est malade, le test est négatif dans 10 % des cas ;
• si l'élève n'est pas malade, le test est positif dans 5 % des cas.

Le proviseur désigne au hasard un élève.

À l'aide des questions 2., 3. et 4., vérifier que \mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})=\mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N}).

• La probabilité d'un événement correspond à
  des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.


• Dans cette activité :
  
  \mathrm{P}(\mathrm{N})= \color{blue}{\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})} \color{black}{+} \color{green}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \cap \mathrm{N})} \color{black}=

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