L'objectif de ce chapitre est d'apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique.

Après avoir inventé le jeu d'échecs, le sage Sissa se serait vu proposer par le roi Indien Belkib de choisir sa récompense. Il aurait alors choisi de remporter du riz réparti de la manière suivante : un grain sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième, quatre grains sur la troisième, huit grains sur la quatrième et ainsi de suite jusqu'à la 64^e case.
C'est sans hésiter que le roi Belkib accepta cette récompense, qu'il ne put en réalité jamais honorer.

Suite numérique

Une suite numérique, notée (u_n), est une suite de nombres dont les termes successifs sont notés u_0, u_1, u_2, etc. Les termes d'une suite peuvent être déterminés à partir d'une expression générale comme pour une fonction. On note alors u_n = f(n).

Une suite numérique est :

• croissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \geqslant u_n ;
• décroissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant u_n.

La représentation graphique d᾽une suite est constituée des points de coordonnées (n\,; u_n).

Suite arithmétique

Une suite de nombres est une suite arithmétique lorsque chaque terme est obtenu en additionnant au terme précédent un nombre constant r appelé la raison. On a alors u_{n+1}=u_{n}+r.

Lorsque le premier terme de la suite est u_0 alors on a u_{n}=u_{0}+n \times r pour tout entier naturel n.

Lorsque le premier terme de la suite est u_1 alors on a u_{n}=u_{1}+(n-1) \times r pour tout entier naturel n non nul.

Représentation graphique et sens de variation d'une suite arithmétique

La représentation graphique d᾽une suite arithmétique est constituée de points alignés.
Si r \gt 0, alors la suite arithmétique est croissante.
Si r \lt 0, alors la suite arithmétique est décroissante.

Somme des termes consécutifs d᾽une suite arithmétique

La somme \mathrm{S} des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la relation :