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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
chapitre 7
Cours 2
Produit scalaire et orthogonalité
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A
Vecteurs orthogonaux
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Propriété
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right) sont orthogonaux si, et seulement si, x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.
Rappel
Soient A,B,C et D quatre points du plan distincts deux à deux.
AB
et
AB
sont orthogonaux si, et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
GeoGebra
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On considère dans un repère orthonormé du plan deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right).
\vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u} \cdot \vec{v}=0 si, et seulement si, x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.
\vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u} \cdot \vec{v}=0 si, et seulement si, x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.
Logique
La propriété est donc valable dans les deux sens.
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Exemple
On munit le plan d'un repère orthonormé. Soient \vec{u}\left(\begin{array}{c}
-4 \\
2
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array}\right) deux vecteurs du plan.
On a \vec{u} \cdot \vec{v}=-4 \times 1+2 \times 2=0.
Donc \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
On a \vec{u} \cdot \vec{v}=-4 \times 1+2 \times 2=0.
Donc \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Application et méthode - 4
Démontrer la perpendicularité de deux droites
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Énoncé
On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(8 \: ; 1), \mathrm{B}(5 \: ;-1), \mathrm{C}(1 \: ;-1) et \mathrm{D}(-1 \: ; 2).
Démontrer que les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont perpendiculaires.
Démontrer que les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont perpendiculaires.
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- On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}.
- On démontre que \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.
- On conclut.
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Solution
On a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l}
-3 \\
-2
\end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
3
\end{array}\right).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=-3 \times(-2)+(-2) \times 3=0, ce qui signifie que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont orthogonaux.
Ainsi, (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont perpendiculaires.
Pour s'entraîner : exercices p. 203.
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=-3 \times(-2)+(-2) \times 3=0, ce qui signifie que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont orthogonaux.
Ainsi, (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont perpendiculaires.
Pour s'entraîner : exercices p. 203.
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B
Projection orthogonale d'un vecteur
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Propriété
On considère trois points non alignés du plan \text{A}, \text{B} et \text{C}.
Soit \text{H} le projeté orthogonal de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).
Alors : \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}.
Soit \text{H} le projeté orthogonal de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).
Alors : \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque
La projection orthogonale permet d'utiliser ensuite l'expression du produit scalaire avec des vecteurs colinéaires.
GeoGebra
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Voir p. 190.
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Exemple
On considère un rectangle \mathrm{ABCD} tel que \mathrm{AB}=4 et \mathrm{AD}=2.
On note respectivement \mathrm{E} et \mathrm{F} les milieux de [\mathrm{AB}] et de [\mathrm{CD}].
On observe que \mathrm{E} est le projeté orthogonal de \mathrm{F} sur (\mathrm{AB}).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=+\mathrm{AB} \times \mathrm{AE} car \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont colinéaires de même sens.
D'où \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=4 \times 2=8.
On note respectivement \mathrm{E} et \mathrm{F} les milieux de [\mathrm{AB}] et de [\mathrm{CD}].
On observe que \mathrm{E} est le projeté orthogonal de \mathrm{F} sur (\mathrm{AB}).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=+\mathrm{AB} \times \mathrm{AE} car \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont colinéaires de même sens.
D'où \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=4 \times 2=8.
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Remarque
On observe que la largeur \text{BC} du rectangle n'influe pas sur le résultat du produit scalaire.
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Application et méthode - 5
Utiliser le projeté orthogonal
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Énoncé
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Soit \text{ABC} un triangle isocèle rectangle en \text{B} tel que \mathrm{AB}=3. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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- On repère les angles droits, puis on utilise la formule du produit scalaire avec la projection orthogonale.
- On calcule ensuite le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.
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Solution
\text{B} est le projeté orthogonal de \mathrm{C} sur (\mathrm{AB}).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}C\color{black}}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}B\color{black}}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}=9.
Pour s'entraîner : exercices p. 203 et p. 206
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}C\color{black}}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}B\color{black}}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}=9.
Pour s'entraîner : exercices p. 203 et p. 206
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Définition
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On considère un vecteur non nul \vec{u} dont un représentant est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}. Soit d une droite du plan.
On note respectivement \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{B}^{\prime} les projetés orthogonaux de \text{A} et de \text{B} sur d.
On appelle alors projeté orthogonal de \bm{\vec{u}} sur \bm{d} le vecteur \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}.
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Propriété
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Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls et \overrightarrow{u^{\prime}} le projeté orthogonal de \vec{u} sur un axe dirigé par \vec{v}.
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=\overrightarrow{u^{\prime}} \cdot \vec{v}, soit \vec{u} \cdot \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \cdot \vec{v}.
Remarque
Il existe une propriété équivalente lorsque le vecteur \vec{v} est projeté sur un axe dirigé par \vec{u}.
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Propriété
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Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls tels que \|\vec{v}\|=1 (vecteur unitaire) et soit \theta une mesure de l'angle entre les deux vecteurs.
On note \overrightarrow{u^{\prime}} le projeté orthogonal de \vec{u} sur un axe dirigé par \vec{v}.
Alors \overrightarrow{u^{\prime}}=\|\vec{u}\| \cos (\theta) \vec{v}.
Remarque
Cette propriété est utile pour la projection des vecteurs forces en physique.
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Exemples
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}\: , \vec{j}), on considère \vec{u} de norme \text{3} tel qu'une mesure de l'angle (\vec{i}, \vec{u}) soit \frac{\pi}{6}.
Le projeté orthogonal de \vec{u} sur l'axe des abscisses est donc le vecteur 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \vec{i}.
Le projeté orthogonal de \vec{u} sur l'axe des abscisses est donc le vecteur 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \vec{i}.
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