Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
chapitre 7
Cours 3
Applications du produit scalaire
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
A
Théorème d'Al‑Kashi
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Soit \mathrm{ABC} un triangle. On note a=\mathrm{BC}, b=\mathrm{AC}, c=\mathrm{AB} et \widehat{\text{A}}=\widehat{\mathrm{BAC}} , \widehat{\text{B}}=\widehat{\mathrm{ABC}} et \widehat{\text{C}}=\widehat{\mathrm{ACB}}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
ThéorèmeThéorème d'Al‑Kashi
On a les trois égalités suivantes.
1. a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\mathrm{A}})
2. b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos (\widehat{\mathrm{B}})
3. c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\widehat{\mathrm{C}})
1. a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\mathrm{A}})
2. b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos (\widehat{\mathrm{B}})
3. c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\widehat{\mathrm{C}})
Remarque
Le théorème d'Al‑Kashi permet de calculer des longueurs et des mesures d'angles dans un triangle en connaissant certaines informations.
Remarque
Lorsque le triangle est rectangle, on retrouve le théorème de Pythagore. Le théorème d'Al‑Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Voir p. 191.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 6
Exploiter la formule d'Al‑Kashi à partir des trois longueurs
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit \text{ABC} un triangle tel que \text{AB}= 6, \text{AC}= 4 et \text{BC}= 3.
Déterminer les valeurs arrondies au degré près des trois angles de ce triangle.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Déterminer les valeurs arrondies au degré près des trois angles de ce triangle.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
- Pour calculer l'angle \widehat{\text{A}} d'un triangle en connaissant les longueurs des trois côtés, on écrit l'égalité du théorème d'Al‑Kashi : a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}}).
- On calcule la valeur de \cos (\widehat{\text{A}}).
- On détermine une valeur exacte ou arrondie de l'angle.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On a a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}}).
Donc \cos (\widehat{\text{A}})=\frac{43}{48}. D'où \widehat{\text{A}} \approx 26^{\circ}.
On obtient de même \widehat{\mathrm{B}} \approx 36^{\circ}.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ.}
Donc \widehat{\text{C}} \approx 180^{\circ}-26^{\circ}-36^{\circ}, soit \widehat{\text{C}} \approx 118^{\circ}.
Pour s'entraîner : exercices p. 203
Donc \cos (\widehat{\text{A}})=\frac{43}{48}. D'où \widehat{\text{A}} \approx 26^{\circ}.
On obtient de même \widehat{\mathrm{B}} \approx 36^{\circ}.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ.}
Donc \widehat{\text{C}} \approx 180^{\circ}-26^{\circ}-36^{\circ}, soit \widehat{\text{C}} \approx 118^{\circ}.
Pour s'entraîner : exercices p. 203
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
B
Égalité du parallélogramme
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
PropriétéÉgalité du parallélogramme
Soit \text{ABCD} un parallélogramme.
Alors, on a l'égalité suivante, appelée égalité du parallélogramme :
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Alors, on a l'égalité suivante, appelée égalité du parallélogramme :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}.
Remarque
L'égalité du parallélogramme signifie que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.
Remarque
On parle aussi de l'identité du parallélogramme.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Voir p. 191.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soit \text{ABCD} un parallélogramme tel que \text{AB}= 5, \text{AD}= 2 et \text{AC}=6.
D'après l'égalité du parallélogramme, on a :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}, soit
\begin{aligned} \mathrm{BD}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AC}^{2} \\ &=5^{2}+2^{2}+5^{2}+2^{2}-6^{2}=22 . \end{aligned}
Donc \mathrm{BD}=\sqrt{22}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après l'égalité du parallélogramme, on a :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}, soit
\begin{aligned} \mathrm{BD}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AC}^{2} \\ &=5^{2}+2^{2}+5^{2}+2^{2}-6^{2}=22 . \end{aligned}
Donc \mathrm{BD}=\sqrt{22}.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah