Mathématiques 4e - 2022

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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Prolongement
Exercices d'entraînement

Vers la troisième

16 professeurs ont participé à cette page
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Chapitres utilisés dans ces exercices

Les pages suivantes permettent aux élèves de se préparer à la classe de troisième en proposant des exercices variés. Certains de ces exercices utilisent des notions de plusieurs chapitres. Le tableau suivant indique les chapitres concernés pour chaque exercice.
Placeholder pour
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1
Chapitres et

On place dans une urne les six papiers suivants.

Placeholder pour Six papiers indiquant respectivement les chiffes 8, 1, -7, -0,5, 21,7 et 29 divisé par 4Six papiers indiquant respectivement les chiffes 8, 1, -7, -0,5, 21,7 et 29 divisé par 4
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Geoffrey pioche deux papiers, l'un après l'autre, au hasard dans cette urne.

1. Quelle est la probabilité qu'il obtienne deux nombres dont la somme est égale à \text{0} ?

2. On suppose que le premier papier pioché par Geoffrey est le nombre -7.
a. Combien de papiers reste-t-il ?

b. Parmi ces papiers restants, il en pioche un au hasard. Quelle est la probabilité que le produit de -7 par ce nombre soit positif ? Négatif ?

3. Quelle est la probabilité que la somme de ce nombre et -7 soit positive ?
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2
Chapitres , et

Soit x un nombre.
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'expression \mathrm{A}=\frac{1}{\frac{9}{8} \times x+\frac{3}{4}}.

1. a. Quelle est la valeur de \text{A} lorsque x=\frac{2}{3} ?

b. Quelle est la valeur de \text{A} lorsque x=\frac{1}{\frac{9}{8} \times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} ?

2. Sans effectuer de calcul, déterminer la valeur de l'expression \text{B}=~\frac{1}{\frac{9}{8} \times \frac{1}{\frac{9}{8} \times \frac{1}{\frac{9}{8} \times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}}+\frac{3}{4}}+\frac{3}{4}}.
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3
Chapitre

1. a. Tracer un carré \text{ABCD} de côté 8 carreaux.

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b. À l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, suivre le programme de construction suivant.
Placeholder pour Programme de construction : 1. Tracer la demi-droite [AD).
2. Tracer le cercle de centre D et de rayon [AD].
3. Ce cercle admet deux points d'intersection avec [AD) : le point A et un point que l'on note E.
4. Tracer le triangle ABE.Programme de construction : 1. Tracer la demi-droite [AD).
2. Tracer le cercle de centre D et de rayon [AD].
3. Ce cercle admet deux points d'intersection avec [AD) : le point A et un point que l'on note E.
4. Tracer le triangle ABE.
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c. Montrer que le triangle \text{ABE} et le carré \text{ABCD} ont la même aire.

2. a. Tracer un triangle \text{FGH} rectangle en \text{F} et de dimensions quelconques.

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b. Proposer un programme de construction permettant, avec une règle non graduée et un compas, de tracer un rectangle ayant la même aire que \text{FGH}.
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4
Chapitres et

\text{ABC} est un triangle. \text{M} est un point de [\mathrm{AB}] et \text{N} est un point de [\mathrm{AC}] tels que (\mathrm{MN}) est parallèle à (\mathrm{BC}). De plus, on sait que \text{AN = 12~cm} et \text{NC = 6~cm}.

1. Faire un schéma.

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2. Exprimer la longueur \text{MN} en fonction de la longueur \text{BC}.

3. a. Que vaut la longueur \text{MN} si \text{BC = 5~cm}  ?

b. Compléter le tableau ci-dessous.

\text{BC} (en cm)\text{1}\text{2}\text{3}\text{4}\text{5}
\text{MN} (en cm)

4. Que peut-on dire des longueurs \text{BC} et \text{MN} ? Pouvait‑on le prévoir ? Justifier.

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5
Chapitres et

Trois élèves d'une même classe de quatrième ont chacun obtenu trois notes sur 20 en mathématiques, toutes de même coefficient.

En utilisant les informations données, déterminer les élèves qui se trompent dans leur raisonnement. Justifier.
Placeholder pour Raisonnement de Samuel : J'ai eu un 2 au premier contrôle mais un 20
au suivant. Avec ma troisième note, j'ai réussi
à avoir un 15 de moyenne.Raisonnement de Samuel : J'ai eu un 2 au premier contrôle mais un 20
au suivant. Avec ma troisième note, j'ai réussi
à avoir un 15 de moyenne.
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Placeholder pour Raisonnement de Yasmine : J'ai eu un 7, un 8 et un 12 ce trimestre,
coefficient I. Dommage que notre prof n'ait pas
voulu passer ce dernier contrôle coefficient 2.
sinon j'aurais pu avoir la moyenne !Raisonnement de Yasmine : J'ai eu un 7, un 8 et un 12 ce trimestre,
coefficient I. Dommage que notre prof n'ait pas
voulu passer ce dernier contrôle coefficient 2.
sinon j'aurais pu avoir la moyenne !
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Placeholder pour Raisonnement d'Anka : Je suis heureuse : ce trimestre, ma moyenne
en maths est égale à la médiane de mes notes.Raisonnement d'Anka : Je suis heureuse : ce trimestre, ma moyenne
en maths est égale à la médiane de mes notes.
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6
Chapitres et

Isabelle tient un stand de chamboule‑tout dans une kermesse. Elle a en sa possession 20 canettes cylindriques dont l'aire de la base est \text{15,5~cm}2 et la hauteur de \text{8~cm}. Elle souhaite les empiler comme ci-contre.

Sachant que le support sur lequel elle doit poser cet empilement est un carré de côté \text{220~mm}, combien de boîtes de conserve pourra-t-elle utiliser au maximum pour ce chamboule-tout ? Quel sera alors la hauteur de cet empilement ?

Placeholder pour Six canettes cylindriquesSix canettes cylindriques
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7
Chapitres et

Les nombres \text{1 = 2}0, \text{2 = 2}1, \text{4 = 2}2, \text{8 = 2}3, etc. sont appelés puissances de \text{2}.
Dans cet exercice, on s'intéresse aux triangles rectangles ci-dessous.
Placeholder pour Quatre triangles rectangles : un rouge A1B1C1 avec B1A1=1 et B1C1=2. Un vert A2B2C2 avec B2A2=2 et B2C2=4. Un jaune A3B3C3 avec B3A3=4 et B3C3=8. Un bleu A4B4C4 avec B4A4=8 et B4C4=16.Quatre triangles rectangles : un rouge A1B1C1 avec B1A1=1 et B1C1=2. Un vert A2B2C2 avec B2A2=2 et B2C2=4. Un jaune A3B3C3 avec B3A3=4 et B3C3=8. Un bleu A4B4C4 avec B4A4=8 et B4C4=16.
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1. a. Conjecturer la méthode de construction de ces triangles.

b. En suivant la même logique de construction, déterminer la longueur de l'hypoténuse du triangle \text{A}_{5} \text{B}_{5} \text{C}_{5}.

2. a. Combien mesure l'angle \widehat{\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}}  ? Justifier.

b. Combien mesure l'angle \widehat{\mathrm{A}_{2} \mathrm{B}_{2} \mathrm{C}_{2}}  ? Justifier.

c. Quelle conjecture peut-on faire concernant les angles \widehat{\mathrm{A}_{3} \mathrm{B}_{3} \mathrm{C}_{3}}, \widehat{\mathrm{A}_{4} \mathrm{B}_{4} \mathrm{C}_{4}}, etc. ?

3. Dans les questions suivantes, les valeurs exactes sont attendues.
a. Calculer la longueur \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}.

b. Calculer la longueur \mathrm{A}_{2} \mathrm{C}_{2}.

c. Calculer la longueur \mathrm{A}_{3} \mathrm{C}_{3}.

d. Sans utiliser le théorème de Pythagore, conjecturer la longueur du segment \left[\mathrm{A}_{4} \mathrm{C}_{4}\right] puis du segment \left[\mathrm{A}_{8} \mathrm{C}_{8}\right].
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8
Chapitre

Je suis un nombre entier. Mon carré est compris entre \text{140} et \text{200}. Ma racine carrée est inférieure à \text{3,5}.
Qui suis‑je ?
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9
Chapitre

1. Tracer un quadrilatère \text{ABCD} quelconque dont les côtés ne se croisent pas.

Placeholder pour Quadrilatère quelconque ABCDQuadrilatère quelconque ABCD
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2. Déterminer la valeur de \widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{BCD}}+\widehat{\mathrm{CDA}}+\widehat{\mathrm{DAB}}.

3. On suppose maintenant que \widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{ABC}}=90^{\circ}, que \widehat{\mathrm{BCD}}=110^{\circ} et que \mathrm{AB}~=~8 \mathrm{~cm} et \mathrm{BD}~=~10 \mathrm{~cm}.
a. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ADC}}.

b. Calculer les mesures des angles du triangle \text{BCD}, arrondies au dixième près.
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10
Chapitres et

On considère la pyramide \text{ABCDE} à base carrée suivante.
L'objectif est de calculer son volume.

Placeholder pour Pyramide ABCE de base carrée, AB=1cmPyramide ABCE de base carrée, AB=1cm
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1. Déterminer l'aire du carré \text{ABCD}.

2. a. Quelle est la nature du triangle \text{ABD} ?

b. Calculer la longueur \text{BD} et arrondir le résultat au centième.

3. On note \text{I} le pied de la hauteur issue de \text{E} dans le triangle \text{BDE}. On admet que \text{I} est le milieu de [\mathrm{BD}] et que [\mathrm{EI}] est la hauteur de la pyramide.
a. Quelle est la nature du triangle \text{BIE} ?

b. Calculer la longueur \text{IE} arrondie au centième près.

4. Calculer alors le volume de la pyramide arrondi à \text{0,01~cm}3 près.
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11
Chapitre

Soit x un nombre strictement positif. Reproduire et compléter les schémas suivants de manière à ce que toutes les figures représentées aient pour périmètre \mathrm{x~cm}.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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12
Chapitres et

Pour remplir la deuxième colonne du tableau suivant, Drishti décide de lancer deux dés équilibrés à six faces. La première ligne du tableau ci-dessous est complétée avec le résultat du premier dé et la deuxième ligne avec celui du deuxième dé. Drishti se demande quelle la probabilité qu'il obtienne ainsi un tableau de proportionnalité.

x7?
y3,5?

1. Dans le tableau suivant, cocher les cases permettant d'obtenir un tableau de proportionnalité.

\text{Dé}~1 \to
\text{Dé}~2
\downarrow
123456
1
2
3
4
5
6

2. En déduire alors la probabilité que Drishti obtienne un tableau de proportionnalité.
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13
Chapitres et

Olivier, employé d'un institut de sondage, est chargé de créer un diagramme circulaire récapitulant les réponses obtenues à la question « De quelle couleur est votre voiture ? ». Malheureusement, un bug dans le système a détruit une grande majorité des données de ce sondage. Il ne lui reste plus que les informations suivantes.
  • Les participants ne pouvaient répondre que bleue, rouge, grise ou noire à cette question.

  • Les sondés ont répondu grise ou noire avec une fréquence de \frac{5}{16}.

  • Les sondés ont répondu bleue ou rouge avec une fréquence de \frac{11}{16}.

  • Les sondés ont répondu rouge ou grise avec une fréquence de \frac{23}{48}.

  • \frac{7}{48} des sondés ont répondu que leur voiture était noire.
Construire le diagramme circulaire représentant cette série statistique.

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14
Chapitres et

\text{ABCD} est un carré de côté \text{1~cm}. \text{ABE} est un triangle isocèle en \text{E} tel que \text{FE = 2~cm}.

1. Montrer que les triangles \text{ADG} et \text{GHE} sont égaux.

2. Montrer que l'aire de la zone bleue est égale à l'aire de la zone violette.

Placeholder pour Schéma d'un triangle isocèle ABE dans un carré ABCD de côté 1cmSchéma d'un triangle isocèle ABE dans un carré ABCD de côté 1cm
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15
Chapitres , et

Les propositions ci-dessous sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. La somme de deux nombres rationnels peut être égale à \text{0}.

2. Un nombre rationnel et son inverse sont toujours différents.

3. On peut trouver des nombres entiers a et b tels que \frac{a}{3} \times \frac{b}{4}=\frac{1}{2}.

4. On peut trouver des nombres entiers a et b tels que \frac{a}{3}+\frac{b}{4}=\frac{1}{2}.
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16
Chapitre

Au bar dans lequel elle travaille, Flora possède des verres de trois formes différentes :
  • conique de hauteur \text{18~cm} dont le pied mesure \text{9~cm} et dont l'aire de la base est \text{35 cm}2 ;
  • cylindrique de hauteur \text{10~cm} et de base d'aire \text{40~cm}2 ;
  • en forme de pavé droit de longueur \text{3~cm}, de largeur \text{2~cm} et de hauteur \text{6~cm}.
Placeholder pour Représentation schématique des verres cités précédemment, un cône vert, un cylindre violet et un rectangle orange.Représentation schématique des verres cités précédemment, un cône vert, un cylindre violet et un rectangle orange.
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Munie d'une bouteille d'eau, Flora remplit tout d'abord un verre cylindrique à ras bord avant de verser son contenu dans un verre conique jusqu'à ce que ce dernier soit plein. Enfin, elle verse le contenu du verre conique jusqu'à remplir totalement un verre en forme de pavé droit. À la fin de cette procédure, quel volume d'eau est contenu dans chacun des verres ?
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17
Chapitres , et

On considère la fonction f définie pour tout nombre x par la formule {3x - 5}.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

x-2-1012
3 x-5

2. a. La fonction f est représentée par une droite. Tracer cette droite dans un repère en prenant 1 carreau comme unité sur les deux axes.

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b. Lire graphiquement le nombre en ordonnée associé au nombre \text{2,5} en abscisse.

c. Lire graphiquement le nombre en abscisse auquel on associe le nombre \text{4} en ordonnée.

3. a. Lorsque x = -3,2, calculer la valeur de la fonction f.

b. Calculer la valeur du nombre auquel on associe le nombre -11.

c. La droite représentant f coupe l'axe des abscisses en un point. Calculer les coordonnées exactes de ce point.

4. Placer de façon exacte le nombre \frac{1}{3} sur l'axe des abscisses.
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18
Chapitres et

L'atome d'hydrogène est assimilé à une sphère de diamètre \text{0,106~nm}. L'atome de carbone est assimilé à une sphère de diamètre \text{0,124~nm}.

1. Que signifie l'unité \text{nm} ?

2. Convertir les deux diamètres en mètre en donnant la notation scientifique du résultat.

3. Justifier que l'atome de carbone est approximativement \text{1,17} fois plus gros que celui d'hydrogène.

4. Dans une boîte de jeu permettant de reconstituer des molécules à partir d'atomes, l'atome d'hydrogène a un diamètre de \text{17~mm} et celui de carbone a un diamètre de \text{23~mm}. La proportion des deux atomes est-elle respectée ? Justifier.
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19
Chapitres , , et

L'ancien drapeau de la République du Congo est un rectangle dont on donne les proportions à respecter pour le représenter correctement.
Placeholder pour Ancien drapeau de la République du CongoAncien drapeau de la République du Congo
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1. Que peut-on dire des triangles rectangles vert et rouge apparaissant sur le drapeau ?

2. Démontrer que la bande jaune a la même aire que le triangle vert.

3. Jasmine veut coudre un drapeau identifque de façon à ce que l'aire de la bande jaune soit égale à \text{8~m}2. Quelles seront la longueur et la largeur du drapeau que Jasmine va devoir réaliser ?
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20
Chapitres et

Une voiture roule à une vitesse moyenne de \text{100~km/h}. Un être humain vit \text{100} ans. La distance entre la Terre et Saturne est de l'ordre de \text{10}^{9}\text{~km}.

Si une route était construite entre la Terre et Saturne, combien d'humains devraient se succéder au volant d'une voiture pour se rendre sur cette planète ?
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21
Chapitres et

1. Compléter la grille ci-dessous avec des nombres rationnels de manière à ce que les sommes des nombres de chaque ligne et de chaque colonne soient égales.

\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}
\frac{1}{20}
\frac{23}{60}

2. Compléter cette même grille mais cette fois‑ci les produits des nombres de chaque ligne et de chaque colonne doivent être égaux.

\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}
\frac{1}{20}
\frac{23}{60}
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22
Chapitre

Soit x un nombre strictement supérieur à \text{1}. On considère le rectangle suivant de longueur x+1 et de largeur x-1.
Placeholder pour Rectangle de longueur x+1 et de largeur x-1.Rectangle de longueur x+1 et de largeur x-1.
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1. Exprimer l'aire de ce rectangle en fonction de x.

2. On colorie dans ce rectangle un rectangle en rouge de largeur \text{1}, comme indiqué.
Placeholder pour Rectangle de largeur 1 coloré en rouge à l'intérieur du rectangle précédent, en verticalRectangle de largeur 1 coloré en rouge à l'intérieur du rectangle précédent, en vertical
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Donner les dimensions (longueur et largeur) de ce rectangle rouge, puis celles du rectangle resté blanc, en fonction de x.

3. On découpe ce rectangle rouge avant de le coller comme indiqué. Déterminer les valeurs manquantes sur la figure 2.
Placeholder pour Deux rectangles représentants les différentes étape : 1-Découpe du rectangle rouge 2-Déplacement de ce rectangle à l'horizontal en dessous du rectangle d'origine.Deux rectangles représentants les différentes étape : 1-Découpe du rectangle rouge 2-Déplacement de ce rectangle à l'horizontal en dessous du rectangle d'origine.
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4. Justifier que l'aire de la figure 2 est égale à x^{2}~-~1.

5. En découpant ce rectangle rouge et en le déplaçant, a-t-on modifié l'aire de la figure initiale ? Que peut-on donc dire de (x+1)(x-1) et de {x^{2}-1} ?

6. Sans calculatrice et sans poser de calcul, déterminer le résultat du produit 101 \times 99.

7. En utilisant le résultat de la question 5, résoudre l'équation {(x+1)(x-1)=24}.
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23
Chapitre

TikTok est une application mobile de partage de vidéos développée par l'entreprise chinoise ByteDance. Son logo représente trois notes, de trois couleurs différentes, superposées.

Placeholder pour Logo Tiktok : il représente une note de musique noire, rouge et turquoise en dessous de laquelle est inscrit tik tokLogo Tiktok : il représente une note de musique noire, rouge et turquoise en dessous de laquelle est inscrit tik tok
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1. Exécuter le programme de construction suivant.
  • Sur une feuille de papier, tracer un cercle \mathcal{C} de centre \text{O}.
  • Tracer un diamètre [\mathrm{AB}] de ce cercle, \text{A} devant se trouver du « côté gauche du cercle » puis un autre diamètre [\mathrm{CD}]de \mathcal{C} tel que (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) soient perpendiculaires. On placera \text{C} « en bas du cercle ».
  • Placer \text{E} l'image de \text{B} par la translation transformant \text{C} en \text{D}.
  • Tracer le segment [\mathrm{BE}].
  • Tracer l'image du quart de cercle \overgroup{\mathrm{AC}} par la translation transformant \text{A} en \text{E}.
  • Effacer le quart de cercle \overgroup{\mathrm{DB}}.

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2. Que peut-on dire des droites (\mathrm{BE}) et (\mathrm{AB}) ? Justifier.

3. Quel type de transformation du plan pourrait-on utiliser pour obtenir la note bleue et la note rouge à partir de la note noire que l'on vient de dessiner ?
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24
Chapitre

On colorie un carré de la façon suivante.

Placeholder pour
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Combien y aura-t-il de petits carrés colorés en rouge à la dixième étape ?
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25
Chapitres , , et

D'après Brevet, Polynésie, 2020

Farid et Gwenaëlle décident tous les deux de partir en randonnée et de suivre le même parcours. Farid part 45 minutes avant Gwenaëlle. De plus, il marche à une vitesse constante de \text{4~km/h} tandis que Gwenaëlle marche à une vitesse constante de \text{6~km/h}.

1. Au moment du départ de Gwenaëlle, quelle est la distance déjà parcourue par Farid ?

On note t le temps écoulé, exprimé en heure, depuis le départ de Gwenaëlle. Ainsi, t = 0 correspond au moment du départ de Gwenaëlle.

2. Soit g la fonction exprimant la distance parcourue par Gwenaëlle en fonction de t. Donner l'expression de cette fonction g.

3. Expliquer pourquoi la distance en kilomètre parcourue par Farid en fonction de t peut s'écrire 4 t+3. On appelle désormais cette fonction f.

4. On a tracé ci-dessous les représentations graphiques des fonctions f et g. En justifiant, associer à chacune de ces courbes la fonction qui lui correspond.

Placeholder pour Représentation graphique des fonctions f et g.Représentation graphique des fonctions f et g.
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5. Déterminer le temps que mettra Gwenaëlle pour rattraper Farid :
a. par lecture graphique ;

b. en résolvant une équation.
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26
Chapitres et

Dans la figure suivante, les droites \text {(ED)} et \text {(AB)} sont parallèles. Le but de cet exercice est de déterminer les longueurs \text{ED} et \text{AC}.

Placeholder pour Figure ABED, à quatre côtés en forme de sablier. Les droites (ED) et (AB) sont parallèles.Figure ABED, à quatre côtés en forme de sablier. Les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
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1. Reproduire la figure en vraie grandeur sur une feuille.

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2. Tracer \mathrm{D}^{\prime} le symétrique de \text{D} par rapport à \text{C} et \mathrm{E}^{\prime} le symétrique de \text{E} par rapport à \text{C}.
3. Que peut-on dire des triangles \text{CED} et \mathrm{CE}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} ? Justifier.

4. Démontrer que la droite \left(\mathrm{E}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}\right) est parallèle à (\mathrm{AB}).

5. Déterminer les longueurs \mathrm{E}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} et \text{AC}.

6. En déduire la longueur \text{ED}.
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