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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Partie 1
Histoire des mathématiques
Information chiffrée
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Les tableaux dans l'histoire des mathématiques
Les mathématiciens ont toujours cherché à utiliser tous les outils possibles pour résoudre des problèmes, calculer, ou stocker des informations. Les tableaux font partie de ces outils.
Dans les plus vieux documents mathématiques retrouvés, on observe des exemples de tableaux mésopotamiens comme des tables d'inverses pour calculer des divisions ou la tablette Plimpton 322. Au fil du temps, on retrouve des tables de racines carrées, de trigonométrie, de multiplication sous différentes formes (exemple ci-après d'une multiplication par jalousies), le triangle de Pascal utilisé en combinatoire, etc.
Au lycée, on utilise surtout les tableaux pour déterminer le signe d'une expression algébrique, les variations d'une fonction, pour établir des tableaux de valeurs, mais aussi en probabilité pour établir des lois ou pour faciliter le dénombrement d'une expérience aléatoire.
Dans les plus vieux documents mathématiques retrouvés, on observe des exemples de tableaux mésopotamiens comme des tables d'inverses pour calculer des divisions ou la tablette Plimpton 322. Au fil du temps, on retrouve des tables de racines carrées, de trigonométrie, de multiplication sous différentes formes (exemple ci-après d'une multiplication par jalousies), le triangle de Pascal utilisé en combinatoire, etc.
Au lycée, on utilise surtout les tableaux pour déterminer le signe d'une expression algébrique, les variations d'une fonction, pour établir des tableaux de valeurs, mais aussi en probabilité pour établir des lois ou pour faciliter le dénombrement d'une expérience aléatoire.
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Problème du transport optimal
En 1781, le mathématicien et révolutionnaire Gaspard Monge énonce ce que l'on nommera par la suite le
problème du transport optimal.
En voici un exemple actuel très simplifié : imaginons, dans une même ville, trois fabricants de microprocesseurs et trois assembleurs. Chaque fabricant ne peut vendre sa production qu'à un seul assembleur et il ne fabrique que les microprocesseurs dont l'assembleur a besoin. Comment associer chacun de ces fabricants et assembleurs pour que le transport total de toutes les pièces soit le plus court possible ? Un simple tableau à double entrée, donnant les distances entre les uns et les autres, permet de chercher une solution en étudiant tous les cas possibles. Mais comment trouver une solution optimale algorithmiquement, quel que soit le nombre de fabricants et d'assembleurs ? Il faudra attendre la Seconde Guerre mondiale et les travaux du mathématicien Leonid Kantorovitch pour trouver une réponse générale à ce problème. Kantorovitch reçoit en 1975 le prix Nobel d'économie pour ses travaux. Ce problème de Monge continue à intéresser les mathématiciens de nos jours, comme Cédric Villani et Alessio Figalli.
Gaspard Monge
Leonid Kantorovitch
\mathrm{A1} | \mathrm{A2} | \mathrm{A3} | |
|---|---|---|---|
\mathrm{F1} | 2 | 15 | 4 |
\mathrm{F2} | 7 | 11 | 3 |
\mathrm{F3} | 9 | 6 | 10 |
Le parcours optimal est réalisé en formant les couples \mathrm{F1\text{-}A1}, \mathrm{F2\text{-}A3} et \mathrm{F3\text{-}A2}. Il est de 11 unités.
En voici un exemple actuel très simplifié : imaginons, dans une même ville, trois fabricants de microprocesseurs et trois assembleurs. Chaque fabricant ne peut vendre sa production qu'à un seul assembleur et il ne fabrique que les microprocesseurs dont l'assembleur a besoin. Comment associer chacun de ces fabricants et assembleurs pour que le transport total de toutes les pièces soit le plus court possible ? Un simple tableau à double entrée, donnant les distances entre les uns et les autres, permet de chercher une solution en étudiant tous les cas possibles. Mais comment trouver une solution optimale algorithmiquement, quel que soit le nombre de fabricants et d'assembleurs ? Il faudra attendre la Seconde Guerre mondiale et les travaux du mathématicien Leonid Kantorovitch pour trouver une réponse générale à ce problème. Kantorovitch reçoit en 1975 le prix Nobel d'économie pour ses travaux. Ce problème de Monge continue à intéresser les mathématiciens de nos jours, comme Cédric Villani et Alessio Figalli.
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Tablette Plimpton 322
La tablette Plimpton 322 est une tablette en argile mesurant 12,7 cm de longueur et 8,8 cm de largeur. Elle fait partie des quelque 500 000 tablettes babyloniennes retrouvées. Les chercheurs ont estimé qu'elle avait été créée autour de 1 800 av. J.‑C. et elle correspond au plus ancien document retrouvé à nos jours faisant état de théorie des nombres.
Sur cette tablette écrite en cunéiforme, système d'écriture apparu vers 3 300 av. J.‑C., on retrouve un tableau de 15 lignes et 4 colonnes. Les nombres apparaissant dans ce tableau sont écrits en numération sexagésimale, ce qui signifie que ce système d'écriture compte 60 chiffres alors que la numération décimale n'en compte que 10.
Les nombres apparaissant sur cette tablette sont des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des entiers x, y et z vérifiant l'égalité x^{2}+y^{2}=z^{2}.
Par exemple, la 11e ligne correspond aux côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 75 (écrit sous la forme 60 + 15) et de côtés de longueur 45 et 60.
Sur cette tablette écrite en cunéiforme, système d'écriture apparu vers 3 300 av. J.‑C., on retrouve un tableau de 15 lignes et 4 colonnes. Les nombres apparaissant dans ce tableau sont écrits en numération sexagésimale, ce qui signifie que ce système d'écriture compte 60 chiffres alors que la numération décimale n'en compte que 10.
Les nombres apparaissant sur cette tablette sont des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des entiers x, y et z vérifiant l'égalité x^{2}+y^{2}=z^{2}.
Par exemple, la 11e ligne correspond aux côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 75 (écrit sous la forme 60 + 15) et de côtés de longueur 45 et 60.
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1. La quatrième colonne de la tablette indique tout simplement le numéro de la ligne, de 1 à 15.
2. La troisième colonne indique la valeur de l'hypoténuse.
3. La deuxième colonne indique la longueur du plus petit côté du triangle rectangle.
4. La première colonne est la plus mystérieuse. Elle ne donne pas la longueur y du troisième côté du triangle rectangle, comme on pourrait s'y attendre, mais celle de \left(\frac{z}{y}\right)^{2}=\left(\frac{75}{60}\right)^{2}=1,5625.
Les nombres de la première colonne peuvent donc surprendre, mais ils indiquent que les Mésopotamiens disposaient très probablement d'une méthode algorithmique pour trouver ces triplets pythagoriciens bien avant les Grecs. Plusieurs spécialistes des mathématiques babyloniennes ont cherché à expliquer la manière dont cette première colonne a été construite. Il est fort probable que la partie manquante de la tablette aurait pu apporter des indications complémentaires pour interpréter correctement l'écriture et l'utilisation de cette tablette.
2. La troisième colonne indique la valeur de l'hypoténuse.
3. La deuxième colonne indique la longueur du plus petit côté du triangle rectangle.
4. La première colonne est la plus mystérieuse. Elle ne donne pas la longueur y du troisième côté du triangle rectangle, comme on pourrait s'y attendre, mais celle de \left(\frac{z}{y}\right)^{2}=\left(\frac{75}{60}\right)^{2}=1,5625.
Les nombres de la première colonne peuvent donc surprendre, mais ils indiquent que les Mésopotamiens disposaient très probablement d'une méthode algorithmique pour trouver ces triplets pythagoriciens bien avant les Grecs. Plusieurs spécialistes des mathématiques babyloniennes ont cherché à expliquer la manière dont cette première colonne a été construite. Il est fort probable que la partie manquante de la tablette aurait pu apporter des indications complémentaires pour interpréter correctement l'écriture et l'utilisation de cette tablette.
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