Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces rectangulaires. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs a, b et c est donné par la formule :
\mathrm{V}=a \times b \times c.

Exemple

Le volume du cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est donné par la formule :
\mathrm{V}=\pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Le volume de la pyramide dont l'aire de la base est \text{A} et dont la hauteur est h est donné par la formule :
\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \mathrm{A} \times h.

Exemple

Le volume du cône de révolution de rayon de base r et de hauteur h est donné par la formule :
\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Le volume du prisme droit dont l'aire de la base est \text{A} et de hauteur h est donné par la formule :
\mathrm{V}=\mathrm{A} \times h.

Exemple

• La sphère de centre \text{O} et de rayon r est l'ensemble des points \text{M} de lʼespace tels que \mathrm{OM}=r.
• La boule ouverte de centre \text{O} et de rayon r est l'ensemble des points \text{M} de lʼespace tels que \mathrm{OM} \lt r.
• Le volume de la boule de rayon r est donné par la formule :
  V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^{3}.

Exemple

Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Exemple

Pour un angle aigu a :

On note \cos (a) le cosinus de l'angle a et on définit :

\cos (a)=\dfrac{\text { longueur du côté adjacent à l'angle } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note \sin (a) le sinus de l'angle a et on définit :

\sin (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note \tan (a) la tangente de l'angle a et on définit :

\tan (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur du côté adjacent à } a}

Exemple

Dans le triangle \text{ABC} suivant rectangle en \text{A}, on a :
\cos (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}

\sin (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}

\tan (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}


Ces formules permettent de calculer des angles ou de déterminer des longueurs de côté.

Pour s'exercer

19

Donner une écriture littérale du sinus de l'angle \widehat{\mathrm{ACM}}.

Pour s'exercer

20

Calculer la longueur \text{KT} arrondie au mm sur la figure ci-dessous.

Dans un triangle \text{ABC,} la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.

• \text{AB} \leqslant \text{AC + BC}
• \text{AC} \leqslant \text{AB + BC}
• \text{BC} \leqslant \text{AB + AC}

Si dans le triangle \text{ABC} l'égalité \text{AB = AC + BC} est vérifiée, alors \text{C} appartient au segment \text{[AB]} : le triangle est plat.

La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°.

Exemple

Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure.

Un triangle isocèle a deux angles de même mesure.

Exemple

Un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore).

Exemple

Si deux droites (\mathrm{MR}) et (\mathrm{NS}) se coupent en \text{A} telles que (\mathrm{RS}) / /(\mathrm{MN}) alors :

\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AM}}=\dfrac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AN}}=\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathrm{MN}} (théorème de Thalès).

Exemple

Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. On a donc :

\dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}}=\dfrac{\text{IB}}{\text{IK}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{JK}} et \dfrac{\mathrm{GF}}{\mathrm{GN}}=\dfrac{\mathrm{GE}}{\mathrm{GM}}=\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{MN}}

Les points \text{M, I, B} et \text{N, I, A} sont alignés dans le même ordre.
Si \dfrac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IN}}=\dfrac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IM}} alors les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{AB}) sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès).

Exemple

Les droites (\mathrm{AN}) et (\mathrm{BM}) sont sécantes en \text{I.} On a \text{IA = 6} cm, \text{IB = 8 } cm, \text{IM = 6} cm et \text{IN = 4,5} cm. On veut vérifier si les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{MN}) sont parallèles.
Les points \text{A, I, N} et \text{B, I, M} sont alignés dans le même ordre.
\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{4,5}{6}=\dfrac{3}{4} et

\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} donc

\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{MN}) sont parallèles.

La médiatrice d'un segment \text{[AB]} est la droite qui passe par le milieu du segment \text{[AB]} et qui lui est perpendiculaire.

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est situé à égale distance des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
(Pour tracer une médiatrice, on utilise donc cette propriété et un compas.)

Exemple

Pour s'exercer

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Le triangle \text{ABC} suivant est-il rectangle ? Justifier.
\text{AB = 0,7} cm, \text{AC = 2,4} cm et \text{BC = 2,5} cm

Pour s'exercer

22

Les droites colorées sont parallèles, donner les rapports de longueurs égaux.

Un parallélogramme \text{ABCD} est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère.
• Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s'appliquent à eux, mais ils en possèdent d'autres qui leur sont propres.

• Rectangle : tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur.
• Losange : les diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.
• Carré : c'est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

Les propriétés sont récapitulées dans le schéma ci-dessous.

Exemple

Parallélogramme :
Rectangle :
Losange :
Carré :

Le point \text{B} est l'image de \text{A} par la symétrie d'axe d lorsque d est la médiatrice de \text{[AB].}

Exemple

Le point \text{A'} est l'image de \text{A} par la symétrie de centre \text{O} lorsque \text{O} est le milieu de \text{[AA'].}

Exemple

La translation qui transforme \text{A} en \text{B} est définie par la direction de la droite \text{[AB],} le sens de \text{A} vers \text{B} et la longueur \text{AB.}

• L'image d'une droite par une translation est une droite.
• L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur.
• Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles.
• L'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure.

Exemple

On a tracé ci-dessous l'image du carré \text{ABCD} par la translation qui transforme \text{A} en \text{A'.}

Faire subir à une figure \text{F} une rotation de centre \text{O,} d'angle x, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de \text{O} dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de x degrés.

Exemple

Faire subir à une figure \text{F} une rotation de centre \text{O,} d'angle x, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de \text{O} dans le sens des aiguilles dʼune montre de x degrés.

Exemple

L'homothétie de centre \text{O} et de rapport k est la transformation qui, à tout point \text{M,} associe le point \text{M'} tel que :

• \text{O, M} et \text{M'} soient alignés ;
• \mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM} si k>0 et \mathrm{OM}^{\prime}=-k \times \mathrm{OM} si k\lt 0 ;
• si k est positif, alors \text{M'} et \text{M} sont du même côté par rapport à \text{O.}
  Sinon, ils sont de part et d'autre de \text{O.}
• L'image d'une droite par une homothétie est une droite.
• Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles.
• L'image d'un angle par une homothétie est un angle de même mesure.

Une homothétie de rapport k > 0 multiplie par :

• k la longueur d'un segment ;
• k^2 l'aire d'une surface ;
• k^3 le volume d'un solide.
• Une homothétie de rapport k\lt -1 ou k>1 est appelée un agrandissement.
• Une homothétie de rapport -1\lt k\lt 1 est appelée une réduction.

Exemple

On a construit ci-dessous l'image de \text{ABC} par l'homothétie de centre \text{O} et de rapport 3. On a construit ci-dessous l'image de \text{ABC} par l'homothétie de centre \text{O} et de rapport -2.

Pour s'exercer

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Montrer que l'image d'un rectangle par une translation est un rectangle.

Pour s'exercer

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\text{ABC} est un triangle rectangle avec \text{AB = 4} cm, \text{BC = 5} cm et \text{AC = 3} cm. \text{O} est un autre point. \text{A'B'C'} est l'image de \text{ABC} par l'homothétie de centre \text{O} et de rapport -3.
Quelle est l'aire de \text{A'B'C'} ?