Exercices transversaux

On souhaite percer un nouveau tunnel de cinq kilomètres de long. Le premier jour, 300 mètres sont creusés. Chaque jour, la longueur de forage diminue de 5 mètres.
Au bout de combien de jours le tunnel sera‑t‑il percé ?

Partie A : La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est la suite définie par récurrence à partir des deux premiers termes par : \text{F}_{1}=1, \text{F}_{2}=1 et, pour tout entier naturel n non nul, \mathrm{F}_{n+2}=\mathrm{F}_{n+1}+\mathrm{F}_{n}.

1. Calculer tous les termes de la suite \text{F}(n) de \text{F}_{2} à \text{F}_{6}.

2. La suite de Fibonacci viendrait de l'histoire suivante :

• le premier mois, on possède un couple de bébés lapins (des lapereaux) ;
• le mois suivant, ces lapereaux deviennent adultes et peuvent engendrer un nouveau couple de lapereaux le mois suivant ;
• le troisième mois, le couple de lapins donne donc naissance à un couple de lapereaux qui agira de la même façon ;
• le quatrième mois, le premier couple engendre à nouveau un couple de lapereaux (et le fera constamment chaque fois) et le deuxième couple de lapereaux devient adulte et pourra, le mois suivant, donner également naissance à un couple. Les lapins ne meurent jamais et continue de se reproduire de la même façon tous les mois.

À partir de ce texte, retrouver \text{F}_{3} à \text{F}_{4} puis déterminer ce qu'il se passe le cinquième mois.

3. Éléonore se retrouve face à un escalier.
Pour chaque marche, elle peut décider, soit de monter dessus, soit de l'éviter pour aller à la marche suivante. Elle continue comme ça jusqu'à arriver tout en haut. Soit \text{E}_n le nombre de façons de monter un escalier de n marches en utilisant cette méthode. On admet que \text{E}_0 =1 (l'escalier n'a pas de marche).

a. Montrer que \mathrm{E}_{1}=1, \mathrm{E}_{2}=2, \mathrm{E}_{3}=3 et \mathrm{E}_{4}=5

b. Comment justifier que l'on retrouve les mêmes termes que ceux de la suite de Fibonacci ?

Partie B : Le nombre d'or

Le nombre d'or est le rapport entre deux réels strictement positifs a et b vérifiant la relation \dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}.

1. Vérifier que les réels a = 161 et b = 100 respectent presque cette égalité.

2. a. Déterminer l'équation vérifiée par a lorsque b = 1.

b. Le nombre d'or, noté \varphi, est la solution positive de cette équation. Déterminer la valeur exacte de \varphi puis une valeur approchée à 10^{-3} près.

Partie C : Des lapins en or ?

Quel est le lien entre les lapins de Fibonacci et le nombre d'or ?

1. Calculer \dfrac{\text{F}_{2}}{\text{F}_{1}} puis \dfrac{\text{F}_{3}}{\text{F}_{2}} et enfin \dfrac{\text{F}_{4}}{\text{F}_{3}}.

2. Continuer de calculer les rapports successifs jusqu'à \dfrac{\text{F}_{8}}{\text{F}_{7}}. Que peut-on conjecturer ?

3. À l'aide de la calculatrice ou d'un programme réalisé avec Python, calculer le rapport \dfrac{\text{F}_{n+1}}{\text{F}_{n}} lorsque n devient de plus en plus grand.

Soit (u_n) la suite définie par u_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}} pour tout entier naturel n .

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite. La suite semble-t-elle croissante ? décroissante ?

2. Exprimer u_{n+1}-u_{n} en fonction de n .

3. Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = -x^2 + 2x + 1. Étudier le signe de f(x) en fonction de x .

4. En déduire que la suite est décroissante à partir d'un certain rang que l'on déterminera.

f est une fonction définie sur \R par f(x) = ax^2 + bx + c dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est notée \text{C}_f.
On lance trois fois un dé équilibré à six faces.
Le premier lancer donne la valeur de a , le deuxième celle de b et le troisième celle de c .

On définit les événements :

• \text{A} : « \text{C}_f coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 4 » ;
• \text{B} : « f admet 0 pour extremum » ;
• \text{C} : « 0 a exactement deux antécédents par f ».

1. Combien d'issues comporte cette expérience aléatoire ?

2. Déterminer la probabilité d'obtenir la fonction f d'expression f(x) = 5x^2 + 6x + 1 .

3. Déterminer la probabilité d'obtenir une fonction f dont le coefficient b est un entier pair.

4. Déterminer les probabilités des événements \text{A} et \text{B.}

5. a. Déterminer une inégalité partant sur a , b et c pour que l'événement \text{C} se réalise.

b. Déterminer alors toutes les issues réalisant \text{C} et en déduire \text{P(C).}

6. Déterminer la probabilité des événements \mathrm{A} \cap \mathrm{B} et \mathrm{B} \cap \mathrm{C}.

7. Calculer et interpréter \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{C}).

On dispose de deux dés cubiques équilibrés :

• un dé bleu dont les faces sont numérotées -2\: ; -1\: ; 2\: ; 4\: ; 5 et 6\: ;
• un dé rouge dont les faces sont numérotées -4\ ; -3\ ; 0\ ; 1\ ; 3 et 7.

On lance simultanément ces deux dés et on obtient alors deux nombres : b est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé bleu et c est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé rouge.
On s'intéresse à l'équation x^2 + bx + c = 0 .

1. On considère les événements :

• \text{A} : « l'équation n'admet aucune solution » ;
• \text{B} : « l'équation admet une unique solution » ;
• \text{C} : « l'équation admet deux solutions ».

Déterminer la probabilité de ces événements.

2. Sachant que l'équation admet au moins une solution, quelle est la probabilité d'obtenir une solution positive ?

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
On considère un cercle \mathcal{C} de centre \text{I}(-1 \:; 2) et de rayon r = 5 .
\text{M} est le point de coordonnées \text{M}(x\: ; 3) où x est un réel.
On appelle puissance du point \text{M} pour le cercle \mathcal{C} le réel défini par \text{P(M)} = \text{IM}^2 - r^2 .

1. Exprimer \text{P(M)} en fonction de x .

2. On définit la fonction f sur \R par f(x) = x^2 + 2x - 23 .

a. Justifier que, pour tout réel x , f(x)=(x+1)^{2}-24.

b. Dresser le tableau de variations de f sur \R .

c. Étudier le signe de f sur \R .

d. Déterminer les coordonnées des points \text{M} vérifiant \text{P(M)} = 1 .

3. On considère une tangente d au cercle \mathcal{C} passant par \text{M.} On note \text{T} le point d'intersection de d et \mathcal{C}.


Démontrer que \text{P(M)} = \text{MT}^2 .

4. Dans cette question, on pose x = -6 .

a. Déterminer \text{P(M).}

b. On admet qu'il existe deux tangentes à \mathcal{C} passant par \text{M} et que \mathrm{T}_{1}(-6\: ; 2) et \mathrm{T}_{2}\left(-\dfrac{73}{13} \: ; \dfrac{51}{13}\right) sont les deux points d'intersection entre les tangentes et le cercle.
Justifier que \mathrm{MT}_{1}^{2}=\mathrm{MT}_{2}^{2}=1.

Une entreprise familiale de jouets fabrique un jeu de société « Mathong ».
L'entreprise familiale ne peut pas produire plus de 50 boîtes par jour.
Le coût journalier de production de q boîtes de ce jeu, exprimé en euro, se modélise par la fonction suivante : \mathrm{C}(q)=2 q^{2}-26{,}5 q+100 avec q \in[0\: ; 50]. Le prix de vente est fixé à 15,90 euros la boîte.

1. Le 5 septembre 2018, l'entreprise a été dans l'incapacité de produire. Quel a été son coût de production ?

2. Démontrer que, pour tout réel q, on a : \mathrm{C}(q)=2(q-6{,}625)^{2}+12{,}21875.

3. Pour quelle quantité de boîtes q , le coût de production est minimal ? Quelle est la valeur de ce coût minimal ?

4. On note \text{R}(q) la recette pour la vente de q boîtes du jeu « Mathong ».

a. Exprimer \text{R}(q) en fonction de q .

b. Tracer sur une calculatrice la représentation graphique des fonctions \text{C} et \text{R.}

c. Par lecture graphique, pour quelles quantités q la recette est-elle supérieure au coût de production ?

5. On note \text{B}(q) le bénéfice de l'entreprise pour q boîtes vendues.

a. Justifier que, pour tout réel q \: : \mathrm{B}(q)=-2(q-10{,}6)^{2}+124{,}72.

b. En déduire le bénéfice maximal pour cette entreprise.

c. Déterminer graphiquement puis algébriquement les quantités q pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Un vacancier loue un canot à moteur pour faire une promenade de 35 km en longeant le bord de mer. Le prix de la location, proportionnel à la durée de la location, est de 20 euros par heure.
Pour une vitesse \text{V} (exprimée en km·h^–1) constante, la consommation de carburant, par heure, en litre, est donnée par : \mathrm{E}(\mathrm{V})=0{,}25+0{,}04 \mathrm{V}^{2}.
Pour la suite, on suppose que \text{V} \gt 0.

1. Quelle est, en fonction de \text{V,} la durée \text{T} de la promenade si elle s'effectue à une vitesse constante de \text{V ?}

2. Quelle est la quantité de carburant consommé en une heure à une vitesse constante \text{V} = 20 km·h^–1 ?

3. Montrer que la quantité de carburant \text{Q(V)} consommée si la promenade de 35 km est effectuée à la vitesse constante \text{V,} en litre, est \mathrm{Q}(\mathrm{V})=\dfrac{8{,}75}{\mathrm{V}}+1{,}4 \mathrm{V}.

4. Le prix du litre de carburant est 1 euro. Exprimer, en fonction de \text{V,} le coût du carburant pour cette sortie. Le coût du carburant est noté \text{C(V).}

5. Montrer que la somme à payer pour la location (sans le carburant) est donnée en fonction de \text{V} par \mathrm{S}(\mathrm{V})=\dfrac{700}{\mathrm{V}}.

6. Montrer que la somme totale à payer (location + carburant) est \mathrm{S}_{t}(\mathrm{V})=\dfrac{708{,}75}{\mathrm{V}}+1{,}4 \mathrm{V}.

7. \text{S}_{t}^{\prime} est la fonction dérivée de \text{S}_{t}. Montrer que \text{S}_{t}^{\prime}(\mathrm{V})=\dfrac{1{,}4(\mathrm{V}+22{,}5)(\mathrm{V}-22{,}5)}{\mathrm{V}^{2}}.

8. Étudier le signe de \text{S}_{t}^{\prime}(\mathrm{V}), dresser le tableau de variations de \text{S}_{t}, puis déduire la vitesse \text{V}_0 pour laquelle la somme totale à payer est minimale.

Soit f la fonction définie sur \mathcal{D}_{f}=\mathbb{R} \backslash\{1\} par f(x)=\dfrac{-2 x^{2}+3 x-2}{x-1}.
On appelle \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

1. Déterminer la fonction dérivée de f sur \mathcal{D}_{f}.

2. En déduire le sens de variation de f sur chaque intervalle de \mathcal{D}_{f}, puis dresser le tableau de variations de f sur \mathcal{D}_{f}.

3. Montrer que, pour tout x \in \mathcal{D}_{f}, f(x)=-2 x+1-\dfrac{1}{x-1}.

4. Soit d la droite d'équation y = -2x + 1 . Étudier la position relative de \mathcal{C}_{f} par rapport à d .

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente \text{T} à \mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 0.

6. \mathcal{C}_{f} admet-elle des tangentes parallèles à \text{T ?} Si oui, donner l'équation réduite de chacune d'elles.

7. Tracer sur le même repère \mathcal{C}_{f}, d, \text{T} et les éventuelles tangentes trouvées à la question précédente.

Le circuit électrique schématisé ci-après comprend :

• un générateur de f.é.m (force électromotrice) fixe \mathrm{U}_{0}=12 volts ;
• une résistance fixe \mathrm{R}_{0}=6 ohms ;
• une résistance variable \text{R} en ohm.

On admet que la puissance (en watt) dissipée dans la résistance \text{R,} en fonction de \mathrm{U}_{0} et de \mathrm{R}_{0}, est donnée par la fonction \text{P} définie sur \mathrm{K}=[0 \:;+\infty[ par \text{P(R)}=\dfrac{\text{U}_{0}^{2} \text{R}}{\left(\text{R+R}_{0}\right)^{2}}.

1. Avec les valeurs données dans l'énoncé, écrire l'expression de la fonction \text{P} et déterminer sa dérivée.

2. Étudier les variations de la fonction \text{P} sur \text{K}.

3. Déterminer la valeur à donner à la résistance \text{R} pour que la puissance dissipée soit maximale.

4. a. À la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction \text{P.}

b. À l'aide du graphique, conjecturer pour quelles valeurs de \text{R} la puissance est supérieure à 4,5 watts.

c. Vérifier, par le calcul, les résultats précédents.

Soit (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan dans lequel on considère la fonction f définie par f(x)=\dfrac{x^{2}+12 x+24}{2 x+4} et sa représentation graphique notée \mathcal{C}_{f}.

1. Déterminer l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f} de f et son ensemble de dérivabilité.

2. Montrer que, pour tout x \in \mathcal{D}_{f}, f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x^{2}+8 x}{(2 x+4)^{2}}.

3. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur \mathcal{D}_{f}.

4. a. Déterminer les coordonnées des points de \mathcal{C}_{f} où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de \mathcal{C}_{f} avec les axes du repère.

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente \Delta à la courbe \mathcal{C}_{f} au point d'abscisse -1.

6. La courbe \mathcal{C}_{f} admet-elle une tangente perpendiculaire à la droite d d'équation cartésienne 2x - 0{,}5y - 1 = 0 \:? Si oui, préciser en quel point ?

f est une fonction du troisième degré définie et dérivable sur \R par f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d , où a, b, c et d sont des réels donnés avec a \neq 0. f^{\prime} est la fonction dérivée de f.

1. Exprimer f^{\prime}(x) en fonction de a, b, c et x.

2. Démontrer que f admet deux extremums locaux sur \R si et seulement si 4b^2 - 12ac \gt 0 .

3. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous.

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {D} \leftarrow 4 \times b^{2}-12 \times a \times c } \\ \text {Si D > 0 :} \\ \quad \text {afficher } ... \\ \text {Sinon :}\\ \quad \text {Si a > 0 :} \\ \quad \quad \text {afficher } ... \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad \text {afficher } ... \\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin Si} \\ \end{array} }

D'après Bac S – France métropolitaine – 2016

Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point \text{E} (voir figure ci-dessous) situé à l'extérieur du segment \text{[AB].} La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point \text{T} que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment \text{[EM]} perpendiculaire à la droite \text{(AB)} sauf en \text{E.} La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points \text{A} et \text{B} sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point \text{T} qui rend l'angle \widehat{\mathrm{ATB}} le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point \text{T} sur le segment \text{[EM]} pour laquelle l'angle \widehat{\mathrm{ATB}} est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur \text{ET.}
Les dimensions sur le terrain sont les suivantes : \text{EM} = 50 m, \text{EA} = 25 m et \text{AB} = 5{,}6 m.
On note \alpha la mesure en radian de l'angle \widehat{\mathrm{ETA}}, \beta la mesure en radian de l'angle \widehat{\mathrm{ETB}} et \theta la mesure en radian de l'angle \widehat{\mathrm{ATB}}.

1. En utilisant les triangles rectangles \text{ETA} et \text{ETB} ainsi que les longueurs fournies, exprimer \tan (\alpha) et \tan (\beta) en fonction de x .

2. L'angle \widehat{\mathrm{ATB}} admet une mesure \theta appartenant à l'intervalle \left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[ que l'on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels a et b de \left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[, \tan (a-b)=\dfrac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a) \tan (b)}.
Montrer que \tan (\theta)=\dfrac{5{,}6 x}{x^{2}+765}.

3. On admet que la fonction \text{tan} est croissante sur l'intervalle \left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[.
L'angle \widehat{\mathrm{ATB}} est maximum lorsque sa mesure \theta est maximale.
Montrer que cela correspond à un maximum sur l'intervalle \left]0\: ; 50\right] de la fonction f définie par : f(x)=\dfrac{5{,}6 x}{x^{2}+765}.

4. Montrer qu'il existe une unique valeur de x pour laquelle l'angle \widehat{\mathrm{ATB}} est maximum et déterminer alors cette valeur de x au mètre près, ainsi qu'une mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ATB}} à 0{,}01 radian près.

Partie A :

g est la fonction définie sur \R par g(x) = x^3 + 3x - 4 .

1. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur \R puis dresser son tableau de variations sur \R.

2. Justifer que 1 est une solution de l'équation g(x) = 0 . On admet que c'est la seule solution de cette équation.

3. En déduire le signe de g(x) sur \R.

Partie B :

f est la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{-2 x^{3}+4 x^{2}}{x^{2}+1}.
\mathcal{C}_f est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. f^{\prime} est la fonction dérivée de f . Montrer que, pour tout réel x , f^{\prime}(x)=\dfrac{-2 x \times g(x)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

2. Étudier le signe de f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f.

3. Peut-on trouver des points de \mathcal{C}_f en lesquels la tangente est parallèle à la droite \Delta d'équation y = -2x \: ? Si oui, préciser leur abscisse.

Partie C :

La fonction tangente est définie pour tous les réels où la fonction cosinus ne s'annule pas par :
\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}
On considère l'équation \text{(E)} : \tan ^{3}(x)+3 \tan (x)-4=0.
Le but de cette partie est de résoudre dans \R l'équation \text{(E)}. On pose \mathrm{X}=\tan (x).

1. Vérifier que résoudre l'équation \text{(E)} revient à résoudre g(\text{X}) = 0 .

2. Quelle est la valeur de \text{X} solution de cette équation ? Que vaut alors \tan(x) ?

3. Montrer que \tan(x) = 1 équivaut à : \cos (x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).

4. En déduire les solutions de l'équation \text{(E)}.