1

Rappeler comment exprimer les coordonnées de \text{M} en fonction de x. À quel intervalle appartient l'abscisse de \text{M} ? Et l'ordonnée de \text{M} ?

2

Quelles sont les coordonnées du point \text{M}', point image du réel -x ? On proposera deux écritures différentes.

3

En partant du point \text{M} associé à x , on effectue un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens direct.
a) Sur quel point du cercle arrive-t-on ?

b) Justifier que le nombre x + 2 \pi est associé à ce point.

c) Comparer alors \cos (x) et \cos (x + 2 \pi) ainsi que \sin (x) et \sin (x+2\pi).

Dans un repère orthogonal, on souhaite tracer les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentant respectivement les fonctions cosinus et sinus.
a) Justifier que \mathcal{C}_1 est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b) Quelle propriété graphique sur la courbe \mathcal{C}_2 est justifiée par la question

2

?

5

Comment traduire graphiquement les réponses données à la question

3

?

En visite à Londres, Charly monte dans une cabine de la grande roue située au bas de celle-ci. On assimile la grande roue au cercle trigonométrique en prenant comme unité le rayon de celle-ci et comme origine son centre.
Charly effectue alors trois tours complets à vitesse constante. On s'intéresse à son altitude h en mètre en fonction du temps t en seconde. À t = 0 , on a donc h = -1 dans le repère choisi.
a) Quelle sera l'altitude de Charly lorsqu'il aura effectué un quart de tour ? un demi-tour ? un tour complet ?

b) Quelle fonction trigonométrique peut modéliser la situation ? Justifier.

c) Comment peut-on interpréter les résultats de la question

3

dans ce contexte là ?

On fournit les courbes représentatives des fonctions cosinus (en rouge) et sinus (en vert).
On notera dans toute l'activité f : x \rightarrow \cos (x) et g : x \mapsto \sin (x) pour x \in \mathbb{R}.

À l'aide des courbes, on va relier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus entre elles.

1

Donner un intervalle sur lequel la fonction sinus est croissante. Quel est le signe de la fonction cosinus sur cet intervalle ? Est-ce toujours le cas ?

2

Quel semble être le signe de la fonction cosinus lorsque la fonction sinus décroît ?

3

De même, relier le signe de la fonction sinus et les variations de la fonction cosinus.

4

On admet que, pour tout x \in \mathbb{R}, f'(x)=-\sin (x) et g'(x)=\cos (x). Cela est-il en accord avec les considérations des trois premières questions ?

En pleine mer, on peut observer le phénomène de houle. Une fois formée, la houle continue de se déplacer et peut être assimilée à une onde courte à surface périodique.
Les fonctions trigonométriques se prêtent bien à la modélisation de ce système. On donne les caractéristiques d'une houle ci-dessous.

1

Quel lien peut-on faire entre la longueur d'onde et la fonction cosinus ?

2

On note \lambda la période de la fonction h . Vérifier que k=\dfrac{2 \pi}{\lambda}.

3

On suppose ici que \lambda = 160 m et a = 2 m. Déterminer l'expression de h .

4

On a mesuré que la vitesse v de la houle est v = 16 m·s^-1.
Combien de temps faut-il à une crête pour parcourir une longueur d'onde ?