Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Le but de ce problème est de découvrir et d'étudier la fonction tangente.
La fonction tangente est définie par l'expression \tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} sur un ensemble \mathcal{D} qui sera déterminé par la suite.

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Partie 1

Dans cette partie, on va montrer que l'expression fournie correspond bien à la tangente vue au collège.

1. Proposer un schéma et rappeler les formules du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle.

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2. Vérifier que la tangente correspond bien au quotient du sinus par le cosinus.

3. Avec la formule de l'énoncé, que vaut la tangente en \dfrac{\pi}{4} ? Et en -\dfrac{\pi}{4} ?

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Partie 2

Dans cette partie, on va conjecturer des propriétés sur la fonction tangente à l'aide de la calculatrice puis les démontrer.

1. Tracer sur la calculatrice le graphe de la fonction tangente sur l'intervalle [-2 \pi \:; 2 \pi] puis répondre aux questions suivantes.

a. L'ensemble de définition semble-t-il être \mathbb{R} tout entier ?

b. La fonction semble-t-elle paire ? Impaire ?

c. La fonction semble-t-elle périodique ? Si oui, quelle est sa période ?

2. Démontrer les réponses des questions précédentes.

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Partie 3

Dans cette partie, on va étudier la dérivabilité de la fonction tangente.

1. Pour quelles valeurs ne peut-on ni calculer, ni dériver la fonction \tan : x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} ?

2. Donner une expression de la dérivée de la fonction tangente (on pourra l'exprimer en fonction de \tan(x)).

3. En déduire les variations de la fonction tangente.

4. Proposer un tableau de variations sur [-\pi \:; \pi].

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Partie 4

Dans cette partie, on va retrouver la valeur de la tangente par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.

1. Reproduire un cercle trigonométrique dans un repère (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) et placer un point \text{M}, point image d'un réel x compris entre \dfrac{\pi}{4} et \dfrac{\pi}{3}. Tracer la tangente d du cercle en \text{I}. La droite \text{(OM)} coupe d en \text{H}.

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2. À l'aide du théorème de Thalès, montrer que la longueur \text{IH} est égale à la tangente de l'angle ainsi créé.

3. Que se passe-t-il en \dfrac{\pi}{2} ?

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Mise en commun

À l'aide des différents résultats, proposer une étude complète de la fonction tangente. Proposer également une explication de ce qu'il se passe en \dfrac{\pi}{2}.

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Pour aller plus loin

Le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}). Sur le cercle trigonométrique, on place un point \text{A} tel que x_{\mathrm{A}} \neq 0 et y_{\mathrm{A}} \neq 0. On trace la perpendiculaire à (\text{OA}) passant par \text{A} : elle coupe l'axe des abscisses en \text{C} et l'axe des ordonnées en \text{B.} Démontrer, en utilisant la tangente de l'angle \widehat{\mathrm{IOA}} que \mathrm{AC}=\dfrac{1}{\mathrm{AB}}.

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