Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 8
TP / TICE 2
Approcher le cosinus d'un nombre
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Énoncé
On admet la formule suivante pour tout réel x proche de 0 :
Questions préliminaires :
Soit n un entier naturel. On appelle factorielle de n le nombre, noté n!, défini par n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times \ldots \times 1. Par convention, 0! = 1 .
1. Calculer 1! , 3! et 7! .
2. Écrire la formule de \cos(x) donnée dans l'énoncé à l'aide de la notation factorielle.
3. Déterminer les deux termes suivants dans la formule, c'est-à-dire celui avec x^8 et celui avec x^{10}.
\cos (x)=1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\dfrac{x^{6}}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}+\ldots
Remarque
Cette formule s'appelle le développement limité en 0 du cosinus.Questions préliminaires :
Soit n un entier naturel. On appelle factorielle de n le nombre, noté n!, défini par n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times \ldots \times 1. Par convention, 0! = 1 .
1. Calculer 1! , 3! et 7! .
2. Écrire la formule de \cos(x) donnée dans l'énoncé à l'aide de la notation factorielle.
3. Déterminer les deux termes suivants dans la formule, c'est-à-dire celui avec x^8 et celui avec x^{10}.
4. Justifier que, pour tout entier naturel n \neq 0 , n !=n \times(n-1) !.
5. On a réalisé un programme avec Python qui permet de calculer n!. Pour cela, on a créé une fonction \bf{Factorielle}. Expliquer le programme.
5. On a réalisé un programme avec Python qui permet de calculer n!. Pour cela, on a créé une fonction \bf{Factorielle}. Expliquer le programme.
def Factorielle(n):
if n == 0:
return(1)
else:
return(n * Factorielle(n - 1))
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Objectif
Approcher le cosinus d'un nombre proche de 0 simplement à l'aide des quatre opérations élémentaires en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
1. Ouvrir GeoGebra en mode graphique et tracer la
courbe représentative de f : x \mapsto \cos (x).
GeoGebra
2. a. Tracer la courbe représentative de f_{1} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}.
b. Tracer la courbe représentative de f_{2} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}.
c. Tracer la courbe représentative de f_{3} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\dfrac{x^{6}}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}.
d. Que remarque-t-on ?
3. Créer un curseur n variant de 1 à 10 avec un pas de 1.
4. Le but à présent est de tracer la fonction x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\ldots+(-1)^{n} \dfrac{x^{2 n}}{(2 n) !} pour différentes valeurs de n . Pour cela, rentrer dans la zone de saisie :
puis compléter cette commande de manière adéquate.
5. Faire varier n . Que remarque-t-on ?
b. Tracer la courbe représentative de f_{2} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}.
c. Tracer la courbe représentative de f_{3} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\dfrac{x^{6}}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}.
d. Que remarque-t-on ?
3. Créer un curseur n variant de 1 à 10 avec un pas de 1.
4. Le but à présent est de tracer la fonction x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\ldots+(-1)^{n} \dfrac{x^{2 n}}{(2 n) !} pour différentes valeurs de n . Pour cela, rentrer dans la zone de saisie :
5. Faire varier n . Que remarque-t-on ?
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Méthode 2Python
Le but est d'effectuer un programme permettant de calculer la valeur approchée du cosinus d'un réel x en utilisant la formule de l'énoncé. Pour cela, on fournit un algorithme à compléter.
1. Expliquer le rôle des variables \bf{denom} et \bf{sign} ainsi que le rôle des lignes 6 et 7.
2. Recopier et compléter la ligne 8.
3. Programmer cet algorithme sur Python.
4. Le tester pour différentes valeurs de x et de n .
5. Lorsque x est choisi proche de 0 et que n devient de plus en plus grand, de quelle valeur s'approche le résultat calculé par le programme ? Est-ce surprenant ?
\boxed{
\begin{array} { l } {1 \:\:\: \text {Fonction : cos}\_ \text {approx (x, n)} } \\
2 \quad\:\: \text {res} \leftarrow 1 \\
3\quad \:\:\text {denom} \leftarrow 1 \\
4\quad \:\:\text {sign} \leftarrow 1 \\
5\quad \:\:\text {Pour k allant de 1 à n + 1 :} \\
6\quad \:\:\quad \text {denom} \leftarrow \text{factorielle(2} \times \text{k}) \\
7\quad \:\:\quad \text {sign} \leftarrow \text {sign} \times (-1) \\
8\quad \:\:\quad \text {res} \leftarrow \text {...} \\
9\quad \:\:\text {Fin Pour} \\
10\quad \text {Retourner res} \\
\end{array}
}
1. Expliquer le rôle des variables \bf{denom} et \bf{sign} ainsi que le rôle des lignes 6 et 7.
2. Recopier et compléter la ligne 8.
3. Programmer cet algorithme sur Python.
Cliquez pour accéder à la correction
4. Le tester pour différentes valeurs de x et de n .
Cliquez pour accéder à la correction
5. Lorsque x est choisi proche de 0 et que n devient de plus en plus grand, de quelle valeur s'approche le résultat calculé par le programme ? Est-ce surprenant ?
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