Analyse

Une suite (u_{n}) est définie explicitement lorsque l'on peut calculer n'importe quel terme directement en fonction de n, autrement dit lorsque l'on a une expression du terme u_{n} en fonction de n, soit u_{n}=f(n).

Exemple

Pour tout entier naturel n, u_{n}=2 n-3.
On a u_{10}=2 \times 10-3=17.

Une suite (u_{n}) est définie par récurrence lorsqu'elle est définie par son premier terme u_{0} et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l'on a une expression de u_{n+1} en fonction de u_{n}, soit u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

Exemple

u_{0}=5 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=2 u_{n}-3.
On a u_{1}=2 \times u_{0}-3=2 \times 5-3=7.

Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+r. Alors, pour tous entiers naturels n et p, u_{n}=u_{p}+(n-p) r.
En particulier, u_{n}=u_{0}+n r et u_{n}=u_{1}+(n-1) r.
Une suite arithmétique \left(u_{n}\right) de raison r est croissante si, et seulement si, r \gt 0. Elle est décroissante si, et seulement si, r \lt 0. Elle est constante si, et seulement si, r = 0.
Pour tout n \in \mathbb{N}, 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.

Exemple

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison 7 et de premier terme u_{0} = 5.
Alors \left(u_{n}\right) est croissante puisque r = 7 et, pour tout entier naturel n \geqslant 0, u_{n}=5+7 n.
Par exemple, u_{10}=5+7 \times 10=75
\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{20}} \\ =5+{\color{red}12}+{\color{limegreen}19}+\ldots+{\color{blue}145} \\ =5+{\color{red}5+7 \times 1}+{\color{limegreen}5+7 \times 2}+\ldots+{\color{blue}5+7 \times 20} \\ =5 \times 21+7({\color{red}1}+{\color{limegreen}2}+\ldots+{\color{blue}20}) \\ =105+7 \times \frac{20 \times 21}{2}=1\,575\end{array}

Une suite (u_{n}) est géométrique lorsqu'il existe un nombre réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n} \times q. Alors, pour tous entiers naturels n et p, u_{n}=u_{p} \times q^{n-p}.
En particulier, u_{n}=u_{0} \times q^{n} et u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}.
Soit (u_{n}) une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors (u_{n}) est croissante si, et seulement si, q \gt 1. Elle est décroissante si, et seulement si, 0 \lt q \lt 1 . Elle est constante si, et seulement si, q = 1.
Si q \neq 1, alors, pour tout n \in \mathbb{N}, 1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Exemple

Soit (u_{n}) une suite géométrique de raison q = 0{,}9 et de premier terme u_{0} = 100.
Alors (u_{n}) est décroissante et, pour tout entier naturel n \geqslant 0, u_{n}=100 \times 0{,}9^{n}.
Par exemple, u_{5}=100 \times 0{,}9^{5}=59{,}049.
\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{5}} \\ =100+{\color{red}100 \times 0{,}9}+{\color{limegreen}100 \times 0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}100 \times 0{,}9^{5}} \\ =100\left(1+{\color{red}0{,}9}+{\color{limegreen}0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}0{,}9^{5}}\right) \\ =100 \times \frac{1-0{,}9^{6}}{1-0{,}9}=468{,}559\end{array}

4

Soit (u_{n}) une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u_{0}=5.

1. Pour n \in \mathbb{N}, exprimer u_{n} en fonction de n.

2. Calculer u_{20}.

3. Calculer u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{20}.

5

Soit (v_{n}) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v_{1}=3.

1. Pour tout entier n \gt 0, exprimer v_{n} en fonction de n.

2. Calculer v_{12}.

3. Calculer v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{12}.

Une fonction f définie sur un intervalle \text{I} est dérivable en a \in \text{I} si \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} existe et est un nombre réel qu'on appelle nombre dérivé de f en a et qu'on note f^{\prime}(a). Graphiquement, f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
La tangente à la courbe représentative de f en a est parallèle à l'axe des abscisses si, et seulement si, f^{\prime}(a) = 0.
Cette tangente est la droite d'équation y = f^{\prime}(a) (x-a) + f(a).

Exemple

Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = x^{2}.
\tau_{h}(1)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{h^{2}+2 h}{h}=h+2 et \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \tau_{h}(1)=2.
Donc f est dérivable en 1 et f^{\prime}(1)=2.
Comme f(1)=1^{2}=1, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2 x-1.

Soit k un nombre réel.

Exemple

1. Si f(x)=3 x^{2} alors f^{\prime}(x)=6 x avec x \in \mathbb{R}.

2. Si g(x)=-\frac{2}{x^{3}} alors g^{\prime}(x)=\frac{6}{x^{4}} avec x \neq 0.

3. Si h(x)=3 \sqrt{x} alors h^{\prime}(x)=\frac{3}{2 \sqrt{x}} avec x\gt0.

4. Si k(x)=-\frac{2}{3} \cos (x) alors k^{\prime}(x)=\frac{2}{3} \sin (x) avec x \in \mathbb{R}.

Exemple

1. Si f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-1 alors, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=6 x^{2}-8 x+5.

2. Si g(x)=3 x \mathrm{e}^{x} alors, pour tout x \in \mathbb{R}, g^{\prime}(x)=3 \times \mathrm{e}^{x}+3 x \times \mathrm{e}^{x}=(3+3 x) \mathrm{e}^{x}.

3. Si h(x)=\frac{2 x^{2}+3}{x} alors, pour tout x non nul,
h^{\prime}(x) =\frac{4 x \times x-\left(2 x^{2}+3\right) \times 1}{x^{2}} =\frac{4 x^{2}-2 x^{2}-3}{x^{2}}=\frac{2 x^{2}-3}{x^{2}}

4. Soit k(x)=(2 x+1)^{3}. Alors, en posant g(x)=x^{3}, on a k(x)=g(2 x+1).
Pour tout x \in \mathbb{R}, g^{\prime}(x)=3 x^{2} donc k^{\prime}(x)=6(2 x+1)^{2}.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I}.

• f est (strictement) croissante sur \text{I} si, et seulement si, f^{\prime} est (strictement) positive sur \text{I}.
• f est (strictement) décroissante sur \text{I} si, et seulement si, f^{\prime} est (strictement) négative sur \text{I}.
• f est constante sur \text{I} si, et seulement si, f^{\prime} est nulle sur \text{I}.

f admet un extremum local en x_0 si, et seulement si, sa dérivée s'annule en changeant de signe en x_0.

Exemple

Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 3.
Alors f est dérivable et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-18 x+24.
f^{\prime} est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : \Delta=(-18)^{2}-4 \times 3 \times 24=36 et \Delta\gt0.
f^{\prime} admet deux racines réelles : x_{1}=\frac{18-\sqrt{36}}{2 \times 3}=2 et x_{2}=\frac{18+\sqrt{36}}{2 \times 3}=4.
a \gt 0 donc on en déduit le tableau suivant.


Avec f(2)=2^{3}-9 \times 2^{2}+24 \times 2-3=17 et f(4)=13.

7

Soit f une fonction définie sur [-4 \,;+\infty[ dont on donne la représentation graphique \mathcal{C}_f dans le repère \text{(O\,; I , J)} ci-dessous. On a représenté la tangente \text{T} à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0. Cette tangente passe par le point \text{B}(1\,; 4).


1. Déterminer graphiquement f^{\prime}(0).

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente \text{T}.

9

Étudier les variations de la fonction f définie sur \R par f(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 10.

10

Étudier les variations de la fonction f définie sur \R par f(x)=\frac{2 x+3}{x^{2}+1}.

8

Pour chacune des fonctions suivantes :

• déterminer l'ensemble de définition ;
• déterminer l'ensemble de dérivabilité ;
• déterminer la fonction dérivée.

1. f: x \mapsto x^{3}+x^{2}

2. g: x \mapsto \sqrt{x}+x

3. h: x \mapsto \sqrt{x} \times x

4. k: x \mapsto \frac{1}{x^{2}+1}

5. \ell: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}

6. m: x \mapsto 3(2 x-1)^{4}

La fonction exponentielle, notée \text{exp}, est l'unique fonction x \mapsto \mathrm{e}^{x} définie et dérivable sur \R égale à sa dérivée et vérifiant \mathrm{e}^{0} = 1. Elle est strictement positive et strictement croissante sur \R. En particulier, quels que soient les réels x et y :

• \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x=y
• \mathrm{e}^{x} \gt \mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x \gt y

Exemple

\begin{aligned} \mathrm{e}^{2 x-3}-\mathrm{e}^{x+1} \leqslant 0 & \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x-3} \leqslant \mathrm{e}^{x+1} \\ & \Leftrightarrow 2 x-3 \leqslant x+1 \\ & \Leftrightarrow x \leqslant 4 \end{aligned}

Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n, on a \mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} ; \mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}} ; \mathrm{e}^{x-y}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} et \mathrm{e}^{n x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}.

Exemple

\frac{\left(\mathrm{e}^{3 x+1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\frac{\mathrm{e}^{(3 x+1) \times 2+2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\mathrm{e}^{6 x+4-2 x}=\mathrm{e}^{4 x+4}

Soit f une fonction définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{a x+b} où a et b sont des réels. Alors f est dérivable sur \R et, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x+b}. En particulier, pour tout réel k, \left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}=-\mathrm{e}^{-x}.

Exemple

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x \mathrm{e}^{-0{,}9 x}.
Alors f est dérivable et, pour tout x \in \mathbb{R},
\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=1 \times \mathrm{e}^{-0{,}9 x}+x \times(-0{,}9) \mathrm{e}^{-0{,}9 x} \\ &=(1-0{,}9 x) \mathrm{e}^{-0{,}9 x}. \end{aligned}

11

Simplifier l'expression suivante définie pour tout réel x.
\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{-2 x+1}\right)^{3} \times \frac{\mathrm{e}^{4 x} \times \mathrm{e}^{x-2}}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{3}}

12

Résoudre dans \R l'inéquation \frac{1}{\mathrm{e}^{4 x+11}}-\mathrm{e}^{2 x+1}>0.

13

On considère la fonction définie sur \R par f(x)=\frac{2+\mathrm{e}^{0,5 x}}{\mathrm{e}^{0,5 x}}.
1. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=1+2 \mathrm{e}^{-0,5 x}.

2. Étudier les variations de f sur \R.