Probabilités et statistiques

Soit \text{A} un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l'événement \text{B} sachant que l'événement \text{A} est réalisé est \text{P}_\text{A}(\text{B})=\frac{\text{P}(\text{A} \cap \text{B})}{\text{P}(\text{A})}.
Comme toute probabilité, \text{P}_\text{A}(\text{B}) est un nombre réel compris entre 0 et 1.
On a \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

Exemple

Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note \text{F} : « L'élève est une fille. » et \text{L} : « L'élève porte des lunettes. »
Alors \text{P}_{\text{F}}(\text{L})=\frac{7}{20} : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c'est une fille est égale à \frac{7}{20}.

Dans un arbre pondéré :

• la somme des probabilités des branches issues d'un noeud vaut 1 ;
• la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches le composant ;
• la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Il s'agit de la formule des probabilités totales.

Exemple

D'après la formule des probabilités totales,
\begin{aligned} \text{P}(\text{D}) &=\text{P}(\text{A} \cap \text{D})+\text{P}(\text{B} \cap \text{D})+\text{P}(\text{C} \cap \text{D}) \\ &=0{,}15 \times 0{,}05+0{,}45 \times 0{,}1+0{,}4 \times 0{,}2 \\ &=0{,}1325 \end{aligned}

\text{A} et \text{B} sont deux événements indépendants lorsque \text{P}(\text{A} \cap \text{B})=\text{P}(\text{A}) \times \text{P}(\text{B}).

Exemple

Si \mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}6, \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}24 et \mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}6, alors \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}4 donc \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0{,}6 \times 0{,}4=0{,}24=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}). Donc \text{A} et \overline{\mathrm{B}} sont indépendants.

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Soient \text{A} et \text{B} deux événements tels que \mathrm{P}_{\mathrm{A}} = 0{,}6, \mathrm{P}_{\mathrm{B}} = 0{,}4 et \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) = 0{,}3.
Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

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On considère l'arbre pondéré ci-dessous.
Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{D}}).

Soit \text{X} une variable aléatoire réelle définie sur un univers \Omega. Définir la loi de probabilité de \text{X}, c'est associer à chaque valeur de \text{X} sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.


On doit avoir p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On gagne 6 € si on tombe sur 6, on perd 1 € sinon. On note \text{X} la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de \text{X} est :

L'espérance d'une variable aléatoire \text{X}, notée \text{E(X}), est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par \text{X} lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire associée :
Pour tous réels a et b, on a \mathrm{E}(a \mathrm{X}+b)=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+b.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l'exemple précédent, alors \mathrm{E}(\mathrm{X})=-1 \times \frac{5}{6}+6 \times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}.
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain moyen théorique s'élève à 0{,}17 € environ.

La variance d'une variable aléatoire \text{X}, notée \text{V(X)}, est le nombre positif défini par
\begin{aligned} \mathrm{V}(\mathrm{X}) &=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \\ &=\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2}\right) \\ &=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-(\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2} \end{aligned}
(d'après la formule de König-Huygens).
L'écart-type de \text{X} est défini par \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l'exemple précédent, alors
\text{V(X)}=\frac{5}{6}\left(-1-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{1}{6}\left(6-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{245}{36} et \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})} \approx 2{,}61 €.

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Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l'urne.
Soit \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de \text{X}.

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Reprendre l'exercice précédent mais dans le cadre d'un tirage sans remise.

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On considère une variable aléatoire \text{X} dont la loi de probabilité est la suivante.

1. Compléter le tableau, puis calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) et \sigma(\mathrm{X}).

2. Interpréter \mathrm{E}(\mathrm{X}).