Géométrie

Exemple

Soient \mathrm{A}(2 \: ; 3), \mathrm{B}(1 \: ; 4) et \mathrm{C}(-2 \: ; 5) trois points dans un repère orthonormé.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{l} 1-2 \\ 4-3 \end{array}\right) soit \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} -2-2 \\ 5-3 \end{array}\right) soit \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right).
On en déduit que \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-1 \times(-4)+1 \times 2=6.

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est nul.
Si \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont quatre points distincts, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0 si, et seulement si, (\text{AB)} et \text{(CD)} sont perpendiculaires.

Exemple

Si \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c} -14 \\ 6 \end{array}\right), alors \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3 \times(-14)+7 \times 6=0.
Donc (\mathrm{AB}) \perp(\mathrm{AC}) : le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A}.

Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de d.
Dans un repère orthonormé, si a et b sont deux réels simultanément non nuls, \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) est un vecteur normal à la droite d d'équation ax + by + c = 0 et \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} -b \\ a \end{array}\right) est un vecteur directeur de d.

Exemple

Soit d la droite passant par \text{A(3\:; 5)} et de vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right).
d a pour équation cartésienne -2x + y + c = 0.
\mathrm{A} \in d \Leftrightarrow-2 \times 3+5+c=0 \Leftrightarrow c=1.
d a donc pour équation cartésienne -2x + y + 1 = 0.

14

On considère un triangle \text{ABC} avec \text{AB = 3} cm, \text{BC = 4} cm et \text{AC = 5} cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}.

15

Dans un repère orthonormé, les droites d d'équation 2x + 6y - 3 = 0 et d^{\prime} d'équation y = 3x - 2 sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

16

Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite d passant par \text{A}(-3 \:; 5) et de vecteur normal \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array}\right).

Dans un repère orthonormé, un cercle de centre \Omega(a \: ; b) et de rayon r a pour équation (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

Exemple

On considère l'ensemble des points \text{M}(x \:; y) vérifiant x^2 + y^2 - 2y - 8 = 0. \begin{aligned} x^{2}+y^{2}-2 y-8=0 & \Leftrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}-9=0 \\ & \Leftrightarrow(x-0)^{2}+(y-1)^{2}=3^{2} \end{aligned}
Il s'agit donc du cercle de centre \Omega(0 \: ; 1) et de rayon 3.

Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle \text{ABC} sont concourantes en un point \text{G} appelé centre de gravité et vérifiant \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
Ce point se situe aux deux tiers d'une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Exemple

Soient \text{A(1 ; 2)}, \text{B(3 ; 1)}, \text{C(2 ; 6)} et \text{G(2 ; 3)} quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0} car \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right).
Donc \text{G} est le centre de gravité du triangle \text{ABC}.

Théorème de la médiane
Dans un triangle \text{ABC}, on note \text{I} le milieu de \text{[BC]}. Alors :

• \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4} ;
• \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} ;
• \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}.

Exemple

On se place dans un triangle \text{ABC} avec \text{AB = 7}, \text{AC = 3} et \text{BC = 8}.
En notant \text{I} le milieu de \text{[BC]}, on a 2 \mathrm{AI}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=49+9-\frac{64}{2}=26 donc \mathrm{AI}^{2}=13, soit \mathrm{AI}=\sqrt{13}.

On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts \text{A} et \text{B}.
L'ensemble des points \text{M} tels que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 est le cercle de diamètre \text{[AB]}.

Exemple

On considère le cercle C de diamètre \text{[AB]} avec \text{A(2 ; 3)} et \text{B}(5 \: ; - 1) dans un repère orthonormé.
Soit \text{M}(x \:; y) un point dans ce repère. Alors
\begin{aligned} \mathrm{M} \in C & \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 \\ & \Leftrightarrow(2-x)(5-x)+(3-y)(-1-y)=0 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-7 x+10+y^{2}-2 y-3=0. \end{aligned}
Donc C a pour équation x^2 - 7x + y^2 - 2y + 7 = 0.

17

Montrer que, dans un repère orthonormé, l'ensemble des points \text{M}(x\:; y) vérifiant x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0 est un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.

18

Soit \text{G} le centre de gravité d'un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A}. On connaît \text{BC = 5}.
Calculer \text{AG}.