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Préparation aux épreuves du Bac
1. Constitution et transformations de la matière
Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base
Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique
Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage
Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique
Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire
BAC
Thème 1
Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique
Ch. 7
Équilibres acide-base
Ch. 8
Transformations chimiques forcées
Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique
Ch. 10
Stratégies de synthèse
BAC
Thème 1 bis
2. Mouvement et interactions
Ch. 11
Description d'un mouvement
Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme
Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation
Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
BAC
Thème 2
3. Conversions et transferts d'énergie
Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique
Ch. 16
Bilans d'énergie thermique
BAC
Thème 3
4. Ondes et signaux
Ch. 17
Propagation des ondes
Ch. 18
Interférences et diffraction
Ch. 19
Lunette astronomique
Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques
Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif
BAC
Thème 4
Annexes
Ch. 22
Méthode
Thème 2
Sujet Bac expérimental 7
Détermination de la masse de Jupiter
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Énoncé
Galilée a observé pour la première fois les quatre plus grands satellites de Jupiter en 1610 : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Puis Kepler a énoncé sa 3e loi des périodes en 1618. S'appuyant en partie sur leurs travaux, Newton a établi en 1687 la loi de gravitation et a permis ainsi de déterminer la constante de la loi des périodes de Kepler. Mais la mesure de la masse d'une planète, à l'aide du mouvement de ses satellites, n'a été possible qu'après la détermination de la constante de gravitation universelle G par Cavendish en 1798.
Comment déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de quatre de ses satellites ?
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Doc. 1Données astronomiques
| Satellite | Rayon de l'orbite \bm r (\bold{\times 10^5} km) | Période de révolution \bm T (j) |
|---|---|---|
| Io (1) | ||
| Europe (2) | 3,55 | |
| Ganymède (3) | 10,7 | 7,16 |
| Callisto (4) | 18,8 | 16,7 |
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Doc. 2Matériel à disposition
- Logiciel tableur/grapheur
- Logiciel libre et sa notice
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Doc. 3Expression de la 3e loi de Kepler
À l'aide des mesures astronomiques précises réalisées par T. Brahe, J. Kepler a énoncé en 1618, dans son ouvrage intitulé Hamonices mundi, sa troisième loi :
« Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique autour du Soleil tel que \dfrac{T^{2}}{a^{3}}=k »
En appliquant la 2e loi de Newton sur chaque lune de Jupiter, de période T_\text{x} et de rayon d'orbite r_\text{x}, gravitant autour de la planète Jupiter suivant une orbite quasicirculaire, on montre que la 3e loi de Kepler s'écrit : \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{J}}}
« Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique autour du Soleil tel que \dfrac{T^{2}}{a^{3}}=k »
En appliquant la 2e loi de Newton sur chaque lune de Jupiter, de période T_\text{x} et de rayon d'orbite r_\text{x}, gravitant autour de la planète Jupiter suivant une orbite quasicirculaire, on montre que la 3e loi de Kepler s'écrit : \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{J}}}
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Doc. 4Écart relatif
L'écart relatif \varepsilon entre la valeur expérimentale m_\text{exp} d'une masse et sa valeur théorique m_\text{th} se calcule avec la formule : \varepsilon=\dfrac{m_{\mathrm{th}}-m_{\exp }}{m_{\mathrm{th}}}
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Doc. 5Mesure du rayon orbital
L'angle de visée \theta est l'angle sous lequel on voit le rayon r_\text{X} de la trajectoire du satellite depuis la Terre. D'après le schéma :
\tan (\theta)=\dfrac{r_{\mathrm{X}}}{D}
\theta: angle de visée (rad)
r_\text{X}: distance entre Jupiter et le satellite X (m)
D: distance entre la Terre et Jupiter (m)
Dans l'approximité des petits angles, on a \tan (\theta)=\theta
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Doc. 6Jupiter et ses satellites
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- Constante de gravitation universelle : G = 6{,}67 \times 10^{-11} m3⋅kg-1⋅s-2
- Conversions d'unités d'angle : 1' = 1°/60 et 1'' = 1°/3 \: 600
- Conversions d'unités de longueur : 1 u.a. = 1{,}5 \times 10^{11} m
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Questions
1
Relation de proportionnalité entre \bm T^2 et \bm r^3
(10 minutes conseillées)
1. Préciser l'hypothèse à adopter concernant les trajectoires des satellites.
2. Proposer les grandes étapes du protocole expérimental à réaliser (5 lignes maximum) pour répondre à la problématique générale à partir de la formulation complète de la 3e loi de Kepler pour laquelle on précisera les unités de chaque grandeur physique.
Appel n°1
Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.
2
Élaboration du protocole de mesure(20 minutes conseillées) Le logiciel Stellarium est déjà configuré pour être centré sur la planète Jupiter avec un zoom suffisant pour observer les quatre satellites.
3. Proposer un protocole pour mesurer la période de révolution T du satellite Io.
4. Proposer un protocole pour mesurer le rayon de chacune des orbites des satellites Io r_1 et Europe r_2.
Appel n°2
Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.
3
Détermination de la masse de Jupiter
(30 minutes conseillées)
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5. Après accord du professeur, mettre en œuvre les deux protocoles de mesure.
6. Compléter le tableau ci-dessous.
| Satellite | Mesure de l'angle de visée \bm \theta | Calcul du rayon orbite \bm{r_\text{x}} | Mesure de la période de révolution \bm{T_\text{x}} | ||
|---|---|---|---|---|---|
| (°) | (rad) | (m) | (h) | (j) | |
| Io | |||||
| Europe | 3,55 | ||||
7. Après avoir reporté les données, tracer le graphe T^{2}=f\left(r^{3}\right).
GeoGebra
8. Modéliser la courbe représentative de T^{2}=f\left(r^{3}\right) par un modèle affine.
GeoGebra
Appel n°3
Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.
Quitter le logiciel Stellarium et fermer la session.
Se Préparer aux ECE
Rédiger une fiche récapitulative concernant la troisième loi de Kepler.
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah