Mathématiques 6e
Enseignant en primaire ?
Accompagnez-nous dans le développement d'une nouvelle collection !
Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Triangles, rectangles et losanges
Ouverturep. 175
1. Propriétés des triangles usuels
Coursp. 176-178
2. Propriétés des quadrilatères usuels
Coursp. 179-184
Triangles, rectangles et losanges
Coursp. 185-186
Exercices
Exercicesp. 187-190
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
Nos dossiers d'actualité
Dossier d'actualité
Chapitre 11
Pas à pas

2. Propriétés des quadrilatères usuels

16 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Découvrir

Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier.

Placeholder pour Diverses formes a, b, c, d, e, f et gDiverses formes a, b, c, d, e, f et g
Le zoom est accessible dans la version Premium.
a. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
b. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
c. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
d. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Définition : Un quadrilatère est une figure ayant quatre côtés.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Losange

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Découvrir

a. Construire un triangle ABC, isocèle en A, avec AB = 5 cm et BC = 3 cm.
b. Construire le symétrique de A par rapport à (BC).
c. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie. Lesquels sont-ils ?
d. Vérifier par pliage que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Définition : Un losange ABCD est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA.

Placeholder pour losange ABCDlosange ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Remarque : 
On peut voir plusieurs triangles isocèles dans un losange :
  • Ces triangles ont un axe de symétrie en commun : la droite (AC).
    • Grâce aux propriétés de la symétrie axiale, on sait que (AC) est la médiatrice de [BD]
Placeholder pour Trois losanges ABCD, l'un est relié par une diagonale AC, le seconde est relié par une diagonale DB. Le dernier a les deux diagonales et on constate qu'elles forment des angles droits en se croisant.Trois losanges ABCD, l'un est relié par une diagonale AC, le seconde est relié par une diagonale DB. Le dernier a les deux diagonales et on constate qu'elles forment des angles droits en se croisant.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

  • Un losange ABCD possède deux diagonales : ce sont les segments [AC] et [BD].
  • Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Placeholder pour losange ABCD possèdant deux diagonales AC et BDlosange ABCD possèdant deux diagonales AC et BD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Un losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).

Placeholder pour losange ABCDlosange ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
 
Remarque : 
Dans un losange, après avoir tracé les diagonales, on peut voir quatre triangles rectangles. Ils ont les mêmes dimensions !
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
 
Remarque : 
Un losange peut parfois posséder plus de deux axes de symétrie, c'est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins !
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Refaire
Étudier les angles d'un losange

  • Montrer que les angles \widehat{\text{BAD}} et \widehat{\text{DCB}} sont égaux.
    • On sait que (BD) est un axe de symétrie : C est le symétrique de A par rapport à (BD).
    • B et D sont situés sur l'axe de symétrie : B est le symétrique de B, D est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de l'angle \widehat{\text{BAD}} est l'angle \widehat{\text{DCB}}.
    • Or la symétrie conserve les angles. 
  • Donc les angles \widehat{\text{BAD}} et \widehat{\text{DCB}} sont égaux.
Placeholder pour Losange ABCDLosange ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 5
Angles

Placeholder pour Losange ABCDLosange ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Montrer que \widehat{\text{ADC}} = \widehat{\text{CBA}}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

  • Dans le losange ABCD, on a \widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DCB}} et \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{ADC}}.
  • Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles. 
    • (AD) // (BC) et (AB) // (DC).


Placeholder pour Losange ABCDLosange ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Rectangle

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Découvrir

a. Construire un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm.
b. Construire ensuite le triangle BCD, rectangle en D, tel que BD = 3 cm et CD = 4 cm.
c. Quelle figure obtient-on ?
d. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie, combien sont-ils ?
e. Vérifier par pliage ou à l'aide du papier calque que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
f. Mesurer les angles \widehat{\text{ABD}} et \widehat{\text{DCA}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple : Le rectangle ABCD.
Placeholder pour rectangle ABCDrectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Refaire
Établir le parallélisme des côtés d'un rectangle

  • Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
    • La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (DC) et la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (DC).
    • Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.
  • Ainsi (AD) est parallèle à (BC) : (AD) // (BC).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 6
Parallèles

Placeholder pour Rectangle ABCDRectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Montrer que (CD) // (AB).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

  • Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles. 

  • Un rectangle possède deux axes de symétrie : ce sont les médiatrices de ses côtés.
Placeholder pour Rectangle ABCDRectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
 
Remarque : 
Un rectangle peut parfois posséder plus d'axes de symétrie, c'est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins.

Exemple : Les axes de symétrie du rectangle ABCD sont les droites rouge et bleue.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Refaire
Étudier les longueurs des côtés d'un rectangle.  

  • Montrer que AD = BC.
    • Dans la symétrie d'axe bleu, B est le symétrique de A et C est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de [AD] est [BC].
  • Or la symétrie conserve les distances : AD = BC.
Placeholder pour rectangle ABCDrectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 7
Dans la figure ci-contre

Placeholder pour Rectangle ABCDRectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Montrer que AB = DC.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

  • Dans la symétrie d'axe bleu, B est le symétrique de A et D est le symétrique de C.
    • Or la symétrie conserve les distances.
    • Ainsi AC = BD.
Placeholder pour Rectangle ABCDRectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Dans un rectangle ABCD, les segments [BD] et [AC] sont appelés les diagonales. Elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

 
Remarque : 
En général (sauf dans le cas d'un carré), les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie.
Placeholder pour rectangle ABCDrectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Les diagonales et les axes de symétrie d'un rectangle sont tous sécants en un même point.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple : O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD] et des axes de symétrie (les droites rouge et bleue).
Placeholder pour rectangle ABCDrectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Refaire
Étudier les diagonales d'un rectangle

  • Montrer que OD = OC.
    • Dans la symétrie par rapport à la droite orange, O est le symétrique de O et C est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de [OD] est [OC].
    • Or la symétrie conserve les distances.
  • Ainsi OD = OC.
Placeholder pour rectangle ABCDrectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 8
Dans la figure ci-contre

Placeholder pour Rectangle ABCDRectangle ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Montrer que OD = OA et que OC = OB.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Carré

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

  • Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Tout carré possède donc toutes les propriétés des losanges et des rectangles. Un carré est donc un quadrilatère qui possède :
    • quatre angles droits ;
    • quatre côtés de même longueur.
  • Un carré possède toujours quatre axes de symétrie : 
    • les deux médiatrices de ses côtés ;
    • ses deux diagonales.
  • Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu. 
  • Les côtés opposés d'un carré sont parallèles.
Placeholder pour 3 carrés ABCD3 carrés ABCD
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

D
Parallélogramme

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Découvrir

Tracer sur une feuille deux droites sécantes d et d'. Construire une droite parallèle à d\text{,} et une autre droite parallèle à d'. Quelle figure obtient-on ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Retenir

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Refaire
Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?

  • Les droites (AC) et (BC) sont parallèles.
  • ABCD est donc bien un parallélogramme.

Placeholder pour Quatre droites AB, BC, CD et DA qui forment un quadrilatèreQuatre droites AB, BC, CD et DA qui forment un quadrilatère
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 9
Parallélogrammes

a.
quadrilatère
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
quadrilatère
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Sur les figures ci-dessus, les droites forment-elles des parallélogrammes ?
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.