Mathématiques 6e

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Triangles, rectangles et losanges
Triangles, rectangles et losanges
Ouverturep. 175
1. Propriétés des triangles usuels
Coursp. 176-178
2. Propriétés des quadrilatères usuels
Coursp. 179-184
Triangles, rectangles et losanges
Coursp. 185-186
Exercices
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Chapitre 11
Pas à pas

2. Propriétés des quadrilatères usuels

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Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier.

Placeholder pour Illustration de sept formes géométriques colorées (a à g) de différentes tailles et orientations.Illustration de sept formes géométriques colorées (a à g) de différentes tailles et orientations.
a. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
b. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
c. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
d. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?

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Définition : Un quadrilatère est une figure ayant quatre côtés.
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A
Losange

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a. Construire un triangle ABC, isocèle en A, avec AB = 5 cm et BC = 3 cm.
b. Construire le symétrique de A par rapport à (BC).
c. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie. Lesquels sont-ils ?
d. Vérifier par pliage que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
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Définition : Un losange ABCD est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA.

Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD, côtés opposés égaux.Diagramme géométrique: losange ABCD, côtés opposés égaux.
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Remarque : 
On peut voir plusieurs triangles isocèles dans un losange :
  • Ces triangles ont un axe de symétrie en commun : la droite (AC).
    • Grâce aux propriétés de la symétrie axiale, on sait que (AC) est la médiatrice de [BD]
Placeholder pour Schéma géométrique : trois losanges ABCD. Le premier a une diagonale AC, le second DB, le troisième les deux, formant des angles droits.Schéma géométrique : trois losanges ABCD. Le premier a une diagonale AC, le second DB, le troisième les deux, formant des angles droits.

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  • Un losange ABCD possède deux diagonales : ce sont les segments [AC] et [BD].
  • Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD avec diagonales AC et BD se croisant perpendiculairement. Segments égaux indiqués.Diagramme géométrique: losange ABCD avec diagonales AC et BD se croisant perpendiculairement. Segments égaux indiqués.
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Un losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).

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Remarque : 
Dans un losange, après avoir tracé les diagonales, on peut voir quatre triangles rectangles. Ils ont les mêmes dimensions !
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Remarque : 
Un losange peut parfois posséder plus de deux axes de symétrie, c'est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins !
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Étudier les angles d'un losange

  • Montrer que les angles \widehat{\text{BAD}} et \widehat{\text{DCB}} sont égaux.
    • On sait que (BD) est un axe de symétrie : C est le symétrique de A par rapport à (BD).
    • B et D sont situés sur l'axe de symétrie : B est le symétrique de B, D est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de l'angle \widehat{\text{BAD}} est l'angle \widehat{\text{DCB}}.
    • Or la symétrie conserve les angles. 
  • Donc les angles \widehat{\text{BAD}} et \widehat{\text{DCB}} sont égaux.
Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD avec angles égaux indiqués.Diagramme géométrique: losange ABCD avec angles égaux indiqués.
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Exercice 5
Angles

Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD avec angles égaux indiqués.Diagramme géométrique: losange ABCD avec angles égaux indiqués.
Montrer que \widehat{\text{ADC}} = \widehat{\text{CBA}}.
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  • Dans le losange ABCD, on a \widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DCB}} et \widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{ADC}}.
  • Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles. 
    • (AD) // (BC) et (AB) // (DC).


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B
Rectangle

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Découvrir

a. Construire un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm.
b. Construire ensuite le triangle BCD, rectangle en D, tel que BD = 3 cm et CD = 4 cm.
c. Quelle figure obtient-on ?
d. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie, combien sont-ils ?
e. Vérifier par pliage ou à l'aide du papier calque que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
f. Mesurer les angles \widehat{\text{ABD}} et \widehat{\text{DCA}}.
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Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.
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Exemple : Le rectangle ABCD.
Placeholder pour Diagramme géométrique: rectangle ABCD incliné, angles droits indiqués.Diagramme géométrique: rectangle ABCD incliné, angles droits indiqués.

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Établir le parallélisme des côtés d'un rectangle

  • Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
    • La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (DC) et la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (DC).
    • Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.
  • Ainsi (AD) est parallèle à (BC) : (AD) // (BC).
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Exercice 6
Parallèles

Placeholder pour Diagramme géométrique: rectangle ABCD incliné, angles droits indiqués.Diagramme géométrique: rectangle ABCD incliné, angles droits indiqués.
Montrer que (CD) // (AB).
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  • Les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles. 

  • Un rectangle possède deux axes de symétrie : ce sont les médiatrices de ses côtés.
Placeholder pour Diagramme géométrique: rectangle ABCD traversé par une droite rouge et une bleue, divisé en plusieurs segments égaux.Diagramme géométrique: rectangle ABCD traversé par une droite rouge et une bleue, divisé en plusieurs segments égaux.
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Remarque : 
Un rectangle peut parfois posséder plus d'axes de symétrie, c'est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins.

Exemple : Les axes de symétrie du rectangle ABCD sont les droites rouge et bleue.
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Étudier les longueurs des côtés d'un rectangle.  

  • Montrer que AD = BC.
    • Dans la symétrie d'axe bleu, B est le symétrique de A et C est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de [AD] est [BC].
  • Or la symétrie conserve les distances : AD = BC.
Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD traversé par une droite, angles marqués.Diagramme géométrique: losange ABCD traversé par une droite, angles marqués.
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Exercice 7
Dans la figure ci-contre

Placeholder pour Diagramme géométrique: losange ABCD traversé par une droite, angles marqués.Diagramme géométrique: losange ABCD traversé par une droite, angles marqués.
Montrer que AB = DC.
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Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.
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  • Dans la symétrie d'axe bleu, B est le symétrique de A et D est le symétrique de C.
    • Or la symétrie conserve les distances.
    • Ainsi AC = BD.
Placeholder pour Diagramme géométrique: parallélogramme ABCD traversé par une droite, angles marqués.Diagramme géométrique: parallélogramme ABCD traversé par une droite, angles marqués.
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Dans un rectangle ABCD, les segments [BD] et [AC] sont appelés les diagonales. Elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
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Remarque : 
En général (sauf dans le cas d'un carré), les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie.
Placeholder pour Diagramme géométrique: parallélogramme ABCD, diagonales se coupant, segments égaux indiqués.Diagramme géométrique: parallélogramme ABCD, diagonales se coupant, segments égaux indiqués.
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Les diagonales et les axes de symétrie d'un rectangle sont tous sécants en un même point.
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Exemple : O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD] et des axes de symétrie (les droites rouge et bleue).
Placeholder pour Diagramme géométrique: rectangle ABCD, lignes diagonales et transversales, segments marqués.Diagramme géométrique: rectangle ABCD, lignes diagonales et transversales, segments marqués.
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Étudier les diagonales d'un rectangle

  • Montrer que OD = OC.
    • Dans la symétrie par rapport à la droite orange, O est le symétrique de O et C est le symétrique de D.
    • Donc le symétrique de [OD] est [OC].
    • Or la symétrie conserve les distances.
  • Ainsi OD = OC.
Placeholder pour Diagramme géométrique: quadrilatère ABCD, diagonales se croisant en O. Segments de même longueur indiqués.Diagramme géométrique: quadrilatère ABCD, diagonales se croisant en O. Segments de même longueur indiqués.
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Exercice 8
Dans la figure ci-contre

Placeholder pour Diagramme géométrique: quadrilatère ABCD, diagonales se croisant en O. Segments de même longueur indiqués.Diagramme géométrique: quadrilatère ABCD, diagonales se croisant en O. Segments de même longueur indiqués.
Montrer que OD = OA et que OC = OB.
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C
Carré

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  • Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Tout carré possède donc toutes les propriétés des losanges et des rectangles. Un carré est donc un quadrilatère qui possède :
    • quatre angles droits ;
    • quatre côtés de même longueur.
  • Un carré possède toujours quatre axes de symétrie : 
    • les deux médiatrices de ses côtés ;
    • ses deux diagonales.
  • Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu. 
  • Les côtés opposés d'un carré sont parallèles.
Placeholder pour Schéma géométrique : trois losanges ABCD, transformations successives avec segments et carrés gris.Schéma géométrique : trois losanges ABCD, transformations successives avec segments et carrés gris.
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D
Parallélogramme

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Tracer sur une feuille deux droites sécantes d et d'. Construire une droite parallèle à d\text{,} et une autre droite parallèle à d'. Quelle figure obtient-on ?
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Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
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Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?

  • Les droites (AC) et (BC) sont parallèles.
  • ABCD est donc bien un parallélogramme.

Placeholder pour Diagramme géométrique: deux droites parallèles coupées par deux sécantes formant un quadrilatère ABCD.Diagramme géométrique: deux droites parallèles coupées par deux sécantes formant un quadrilatère ABCD.
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Exercice 9
Parallélogrammes

a.
quadrilatère
b.
quadrilatère

Sur les figures ci-dessus, les droites forment-elles des parallélogrammes ?
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