Mathématiques 6e

Enseignant en primaire ?
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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
Chapitre 11
Pas à pas

1. Propriétés des triangles usuels

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Découvrir

a. Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier. 

Placeholder pour Figures a, b, c, d, e, f, g et h à décalquer. Les figures sont des triangles différentsFigures a, b, c, d, e, f, g et h à décalquer. Les figures sont des triangles différents
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b. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
c. Repérer à l'œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
d. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
e. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?
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Retenir

Un triangle est un polygone formé de trois points (les sommets) et de trois côtés. On le désigne souvent par ses sommets.

Remarque :
Un triangle a trois angles, \widehat{\text{BAC}}, \widehat{\text{CBA}} et \widehat{\text{ACB}}.

Placeholder pour triangle ABCtriangle ABC
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A
Triangle rectangle

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  • Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.  
  • On dit que le triangle ABC est rectangle en A. Cela permet de savoir où est l'angle droit !

Remarque :
Il ne peut y avoir qu'un seul angle droit dans un triangle.

Remarque :
Ce n'est pas parce qu'un triangle est rectangle qu'il a un (ou des) axes de symétrie.

Placeholder pour Triangle ABC rectangle en ATriangle ABC rectangle en A
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Refaire
Repérer des triangles rectangles

Nommer tous les triangles rectangles que l'on peut construire avec les sommets A, B, C, D, E et F. 

  • On repère les angles droits : ils sont situés sur les points D et B.
  • Pour le sommet D, on peut construire le triangle BCD, rectangle en D.
  • Pour le sommet B, on peut construire :
    • le triangle BCA, rectangle en B ;
    • le triangle BEA, rectangle en B ;
    • le triangle BCF, rectangle en B ;
    • le triangle BEF, rectangle en B.

Placeholder pour Ensemble de droites qui se croisent et qui forment différents triangles. Le triangle BCD est rectangle en DEnsemble de droites qui se croisent et qui forment différents triangles. Le triangle BCD est rectangle en D
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Exercice 1
Reproduire chaque figure

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 1Graphique lié à l'exercice 1
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1. Nommer les triangles rectangles qui apparaissent dans la figure a.
2. Nommer les triangles rectangles qui apparaissent dans la figure b.
Afficher la correction
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B
Triangle isocèle

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Découvrir

a. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire un triangle ABC tel que AB = AC.
b. Tracer la médiatrice de [BC]. Que remarque-t-on ?
c. Afficher les mesures des angles \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{ACB}}. Que remarque-t-on ?
d. Les propriétés remarquées sont-elles conservées quand on déforme le triangle ?
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  • Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de longueurs égales.
    • On dit que le triangle ABC est isocèle en A. Cela veut dire que AB = AC !
  • Propriété : Un triangle ABC isocèle en A possède un axe de symétrie : c'est la médiatrice de [BC].

Remarque :
Un triangle isocèle peut parfois posséder plus d'un axe de symétrie, dans ce cas, c'est un triangle équilatéral, mais jamais moins.

Placeholder pour ABC est un triangle isocèleABC est un triangle isocèle
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Retenir

  • Dans la symétrie par rapport à la droite rouge, A est le symétrique de A et C est le symétrique de B.
    • Donc l'angle \widehat{\text{BCA}} est le symétrique de l'angle \widehat{\text{ABC}}.
    • On sait que la symétrie conserve les angles.
    • On a donc par symétrie : \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BCA}}.

  • Un triangle isocèle possède deux côtés égaux et deux angles égaux.

  • Si un triangle possède deux angles égaux, alors il est isocèle !

Placeholder pour Triangle isocèle ABCTriangle isocèle ABC
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Refaire
Repérer des triangles isocèles

Repérer les triangles isocèles dans cette figure et prouver que \widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.
  • On repère les segments de même longueur : AB = AC et CD = CE.
  • Donc ABC est isocèle en A et CDE est isocèle en C.
  • Dans le triangle CDE (isocèle en C), les deux angles qui n'ont pas C comme sommet sont égaux.

Donc \widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.
Placeholder pour Figure composée de plusieurs trianglesFigure composée de plusieurs triangles
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Exercice 2
Repérer les triangles isocèles dans cette figure

Placeholder pour Quadrilatère ABCD où AD = AB et aussi égal à au segment allant de A à l'intersection des diagonales de ce quadrilatèreQuadrilatère ABCD où AD = AB et aussi égal à au segment allant de A à l'intersection des diagonales de ce quadrilatère
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1. Montrer que \widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{BDA}}.
Afficher la correction
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Exercice 3
Repérer les triangles isocèles dans cette figure

Placeholder pour Figure composée de plusieurs triangles isocèles : EFG, HIJ et EHI. GE = EF, EI = EH et IH = HJ.Figure composée de plusieurs triangles isocèles : EFG, HIJ et EHI. GE = EF, EI = EH et IH = HJ.
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1. Montrer que \widehat{\text{EHI}} = \widehat{\text{HIE}}.
Afficher la correction
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C
Triangle équilatéral

Placeholder pour élève en train de réciter : le mot équilatéral vient du latin alors que le mot isocèle vient du grec !élève en train de réciter : le mot équilatéral vient du latin alors que le mot isocèle vient du grec !
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  • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur : il est isocèle en chacun de ses sommets.

  • Placeholder pour Un triangle équilatéral ABCUn triangle équilatéral ABC
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  • Propriété : Un triangle équilatéral possède toujours trois axes de symétrie : ce sont les médiatrices de chaque côté.
    • Dans ce triangle équilatéral ABC, les trois droites rouges sont les axes de symétrie du triangle.
  • Placeholder pour Un triangle équilatéral ABCUn triangle équilatéral ABC
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Refaire
Étudier les angles d'un triangle équilatéral

Montrer que \widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.
  • Le triangle ABC est isocèle en B.
  • Dans un triangle isocèle en B, les deux angles dont le sommet n'est pas B sont égaux.

Ainsi \widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.

Placeholder pour triangle équilatéral ABCtriangle équilatéral ABC
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Exercice 4
Angles

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 4Graphique lié à l'exercice 4
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1. Montrer que \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BCA}}.
Afficher la correction
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Propriété : Les trois angles d'un triangle équilatéral ABC sont égaux. 
  • \widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ACB}}
Placeholder pour Triangle équilatéral ABCTriangle équilatéral ABC
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