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Problèmes résolus
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41Triangles opposés par le sommet.
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✔ J'extrais et j'exploite les informations utiles d'un document
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Dans ces triangles rectangles, DA = 5 cm, DE = 7 cm et AC = 4 cm.
Calculez les longueurs AB et BC (arrondies au mm).
Calculez les longueurs AB et BC (arrondies au mm).
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Méthode 1
Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut utiliser la trigonométrie. Il faut avant cela justifier lʼégalité des deux angles qui ont le même sommet A et qui sont formés par deux droites.
Calcul de AB : \text{AB} = \dfrac{5\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{7\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
Corrigé 1
- Comme les angles \widehat{\text{DAE}} et \widehat{\text{BAC}} sont égaux, on peut utiliser la trigonométrie pour calculer les longueurs demandées.
- Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
AE2 = DA2 + DE2
AE2 = 52 + 72
AE2 = 25 + 49
AE2 = 74
- Suite à l'égalité des angles mentionnés, on obtient les égalités \cos(\widehat{\text{DAE}})=\cos(\widehat{\text{BAC}}) et \sin(\widehat{\text{DAE}})=\sin(\widehat{\text{BAC}}).
La première égalité donne \dfrac{\text{DA}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} soit \text{AB}=\dfrac{\text{DA}\times\text{AC}}{\text{AE}}.
La seconde égalité donne \dfrac{\text{DE}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} soit \text{BC}=\dfrac{\text{DE}\times\text{AC}}{\text{AE}}.
Calcul de AB : \text{AB} = \dfrac{5\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{7\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
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Méthode 2
Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut appliquer le théorème de Thalès après avoir justifié le parallélisme des droites qui forment leurs bases respectives.
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
Corrigé 2
- On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles.
- Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
AE2 = DA2 + DE2
AE2 = 52 + 72
AE2 = 25 + 49
AE2 = 74
- On sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès :
\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}
\dfrac{\text{AB}}{5} = \dfrac{4}{\sqrt{74}} = \dfrac{\text{BC}}{7}
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
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Problème similaireVoir p. 404 : Jouer au billard.
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