Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Grandeurs et mesures
Ouverturep. 237
Je découvre le chapitre
Introductionp. 238-239
J'apprends
Coursp. 240-243
Questions Flash / Je m'entraine
Exercicesp. 244-249
Problèmes résolus
Problèmesp. 250
Problèmes résolus
Problèmesp. 251
Je résous des problèmes
Exercicesp. 252-259
Exercices numériques
Exercicesp. 260
Maths autrement : Le paradoxe de Lewis Carroll
Travailler autrementp. 261
Je m'évalue
Exercicesp. 262
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Nos dossiers d'actualité
Dossier d'actualité
Chapitre 11
Exercices

Je résous des problèmes

18 professeurs ont participé à cette page
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48
Une partie de football.

Un terrain de foot est de forme rectangulaire, de dimensions 105 m × 70 m.

1.  Combien de feuilles A4 (de dimensions 21 cm × 29,7 cm) faudrait-il pour recouvrir la pelouse ?
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49
Autour du Soleil.

Placeholder pour Illustration de la terre tournant autour du soleilIllustration de la terre tournant autour du soleil
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La Terre est à 149 597 887 km du Soleil. Supposons que la Terre décrive un cercle autour du Soleil et quʼelle fasse un tour complet en un an.

1.  Quelle distance arrondie au km près la Terre parcourt-elle en un an ?
 2.  En réalité, la Terre parcourt 924 375 700 km lorsquʼelle fait un tour complet autour du Soleil. Effectuez une recherche sur lʼorbite terrestre afin dʼexpliquer cette différence.
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50
Plan dʼun appartement.

Voici le plan dʼun appartement.
Graphique lié à l'exercice 2
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1.  Calculez la superficie de la chambre.
 2.  Calculez la superficie totale de lʼappartement. A-t-on besoin du résultat de la question 1 pour effectuer ce calcul ?
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51
Tracer.

1.  Tracez sans compas trois triangles différents dont lʼaire est égale à 21\:\text{cm}^2.
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52
Smiley.

Carré contenant 2 cercles et 1 demi-cercle, lui donnant l'apparence d'un smiley
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1.  Calculez lʼaire de la partie colorée, en \text{cm}^2. Donnez-en une valeur arrondie au dixième.
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53
Pense-bête.

Graphique lié à l'exercice 4
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1.  Calculez lʼaire de la partie colorée, en cm^2. Donnez-en une valeur arrondie au dixième.
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54
Ballotins de chocolat.

Un chocolatier utilise des boites en forme de pavé droit pour vendre ses ballotins de chocolats.Le petit ballotin a un volume 1,5 fois plus petit que celui du ballotin de taille moyenne, qui représente lui-même la moitié seulement du grand ballotin.

1.  Sachant que le grand ballotin contient 60 chocolats, combien contiennent respectivement le moyen et le petit ballotin ?
 2.  Sachant que le volume du ballotin moyen est de 540 cm3, quel volume de chocolat représentent le grand et le petit ballotin ?
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55
Cercle et diamètre.

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 5Graphique lié à l'exercice 5
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Tom veut former un cercle le plus grand possible avec une corde de 10 m de long.

1.  Quel diamètre peut atteindre le cercle formé à lʼaide de cette corde ?
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56
Mile per hour.

Dans les pays anglo-saxons, lʼunité de mesure de la vitesse est le mile per hour ou mile par heure (mph). 1 mile = 1,609 kilomètres.

1.  Convertissez 130 km/h en mph.
 2.  Une voiture américaine roulant en France à 80 mph sur autoroute limitée à 130 km/h respecte-t-elle la limitation ? Justifiez votre réponse.
3.  Une voiture française roulant à 90 km/h sur une portion de route limitée à 60 mph aux États-Unis respecte-t-elle les limitations de vitesse ? Justifiez votre réponse.
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57
Laitons.

Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc. La masse volumique du cuivre est de 8\text{,}920 \text{g}/\text{cm}^3 et celle du zinc de 7\text{,}150 \text{g}/\text{cm}^3.

1.  Déterminez les masses volumiques des alliages suivants et complétez le tableau en arrondissant les résultats au centième.

Alliage Quantité de zinc (%) Quantité de cuivre (%) Masse volumique (g/cm^3) Masse volumique (t/m^3)
Laiton 1 10 90
Laiton 2 20 80
Laiton 3 30 70
Laiton 4 40 60

2.  Comment évolue la densité du laiton quand la proportion de zinc augmente ?
 3.  Combien pèse 1 \text{m}^3 de lʼalliage 1 ? De lʼalliage 2 ? De lʼalliage 3 ? De lʼalliage 4 ?
 4.  Convertissez ces résultats en tonnes.
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58
Solutions chimiques et concentration.

1.  Dans une solution chimique, il y a 4\text{,}72 \text{g}/\text{L} de calcium. Quelle quantité de calcium en grammes y a-t-il dans 10 L de cette solution ? Dans 100 L ? Dans 1 000 L ? Dans 1 m3 ?
 2.  Dans 15 L dʼune solution chimique, il y a 21 g de sodium. Quelle est la concentration de la solution en g/L ? En g/dm^3 ? En g/m^3 ?
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59
Lampe torche.

On modélise une lampe torche par la superposition de trois cylindres de révolution, comme la représentation suivante.
Figure représentant une lampe torche
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1.  Exprimez le volume de cette lampe torche en fonction de h et de r. On factorisera le résultat par \pi r^{2} h.
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60
Marteau.

On modélise un marteau par la figure suivante.
Figure geométrique
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1.  Calculez son volume.
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61
Objets quotidiens.

Complétez le tableau suivant. Répondez aux questions quand lʼénoncé le permet.

Il faut calculer lʼaire de la surface pour répondre.Il faut calculer le volume pour répondre.Ni le calcul de lʼaire de la surface ni le calcul du volume nʼest utile.
1. 
2. 
3. 

1.  Quelle est la contenance dʼun vase de hauteur 30 cm et dont le diamètre de lʼextrémité supérieure est 10 cm et celui de lʼextrémité inférieure est 5 cm ?
Placeholder pour c11.jr.vase.jpgc11.jr.vase.jpg
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2.  Quelle surface de tissu a été utilisée pour fabriquer cette lampe ?
Placeholder pour c11.jr.lampe.jpgc11.jr.lampe.jpg
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3. Combien de dés de 1 cm de côté peut-on transporter dans un cône de hauteur 10 cm et rayon 2 cm ?
Placeholder pour c11.jr.glace.jpgc11.jr.glace.jpg
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62
Cône de glace.

Un cornet de glace mesure 9 cm de hauteur pour 4 cm de diamètre. Il est rempli de glace vanille jusquʼaux trois quarts, le reste du cornet étant rempli de glace à la fraise.

1.  Quel est le volume du cornet ?
 2.  Calculez le rapport entre le volume de glace à la fraise et le volume de glace à la vanille.
 3.  Quel volume de glace à la vanille contient le cornet ? Déduisez-en le volume de glace à la fraise.
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63
Vers le Brevet (Centres étrangers, 2011).

Figure géométrique imitant la forme d'un cornet de glace
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Michel achète une glace au chocolat. Celle-ci a la forme dʼune boule posée sur un cône comme sur la figure précédente (lʼunité est le cm). Michel se demande sʼil ne serait pas plus intéressant de remplir le cône à ras bord avec de la glace plutôt que de poser une boule sur le cône.

1.  Quʼen pensez-vous ?
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64
Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011).

Graphique lié à l'exercice 13
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Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat a la forme dʼun parallélépipède rectangle.Celui de glace à la vanille est cylindrique.Les deux pots sont pleins. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

1.  Calculez le volume des pots de glace vanille et chocolat arrondi au \text{cm}^3.
 2.  Calculez la valeur arrondie au \text{cm}^3 du volume dʼune boule de glace contenue dans la coupe.
 3.  Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?
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65
Vinaigrette.

Une vinaigrette contient trois volumes dʼhuile pour un volume de vinaigre et un volume de moutarde.

1. Quel est le pourcentage dʼhuile dans une vinaigrette ? De vinaigre ? De moutarde ?
 2.  Quelle quantité de chaque ingrédient exprimée en litres faut-il pour faire 50 cL de vinaigrette ?
 3.  Lʼunité retenue est-elle correcte pour la quantité de moutarde ? Est-elle pertinente ?
 4.  Sachant que la masse volumique de la moutarde est de 1\text{,}2 \text{g}/\text{cm}^3, déterminez la masse de moutarde (en grammes) nécessaire pour préparer 50 cL de vinaigrette.
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66
Carburants verts.

Les carburants verts sont constitués pour une partie dʼessence et, pour lʼautre, de biocarburant comme lʼéthanol. Le carburant E85 contient 15 % dʼessence et 85 % dʼéthanol.

1.  Combien de litres de E85 peut-on fabriquer avec 100 \text{L} dʼéthanol ? Avec 100 \text{L} dʼessence ?
 2.  La mass/e volumique de lʼessence est de 0\text{,}75 \text{g}/\text{cm}^3, celle de lʼéthanol est de 0\text{,}79 \text{g}/\text{cm}^3. Quelle est la masse volumique de lʼE85 en \text{kg}/\text{m}^3 ?
 3.  Le sans-plomb 95 – E10 est composé de 10 % dʼéthanol et le reste dʼessence. Quelle est sa masse volumique ?
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67
Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011).

Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés dʼun cylindre de révolution surmonté dʼune demi-boule. La hauteur du cylindre doit être de 40 cm et son rayon de 20 cm. La demi-boule a le même rayon.

1.  Calculez les volumes du cylindre et de la demi-boule arrondis au \text{cm}^3.
 2.  Calculez le volume de béton nécessaire pour fabriquer 1 000 plots. Donnez la réponse en \text{m}^3.
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68
Mesure du degré dʼalcool.

1. Recherchez la masse volumique de lʼeau et exprimez-la en kg/L.
 2.  La masse volumique de lʼéthanol est de 7\text{,}89 \times 10^{-1} \text{kg}/\text{L}. Un litre dʼalcool est-il plus léger quʼun litre dʼeau ?
   

3.  On plonge un bâton en forme de parallélépipède rectangle de dimensions 10 \times~10 \times 60\:\text{mm} dans la solution. Sa masse volumique est de 7 \times 10^{-1} \text{kg}/\:\text{dm}^3. Quelle est la masse de ce bâton ?
 4.  Le bâton est immergé dʼune hauteur h dans le liquide. Quel est le volume que prend cette partie immergée en fonction de h ? À quelle masse de liquide cela correspond-il ?
 5.  Pour que le bâton flotte, il faut que la masse de liquide soit égale à la masse du bâton (cʼest le principe de la poussée dʼArchimède). Trouvez cette hauteur h en fonction de x.
 6.  Comment, à partir de ce résultat, peut-on imaginer un système de mesure du degré dʼalcool x ?
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69
Construction dʼune table.

Placeholder pour Plans d'une table en bois avec une vue de haut et 2 vues latéralesPlans d'une table en bois avec une vue de haut et 2 vues latérales
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Voici les plans dʼune table en bois, avec une vue de haut et deux vues latérales.

1.  Calculez le volume de bois nécessaire à la confection de cette table.
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70
La goutte dʼeau.

Placeholder pour Illustration d'une jeune fille devant un verre de jus de fruitIllustration d'une jeune fille devant un verre de jus de fruit
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Marie sʼest servie un verre de jus de fruits. Le verre est de forme cylindrique, de hauteur h = 12 cm, et le fond a un diamètre de 8 cm. Le verre est rempli aux neuf dixièmes de sa hauteur. Thibaut, son petit frère, fait tomber malencontreusement un dé cubique de 3 cm de côté dans son verre.

1.  Le verre va-t-il déborder ?
  
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71
Morceau de fromage.

Illustration d'une meule de fromage
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1.  Calculez le volume du morceau découpé dans ce fromage.
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72
Le bon verre.

1.  Parmi les verres suivants, lequel vous semble le plus adapté pour servir un jus de 40 cL ?




Verre pavé
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1. Verre pavé
Verre à base triangulaire
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2. Verre à base triangulaire
Verre cylindrique
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3. Verre cylindrique
Verre cylindrique
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4. Verre cylindrique

2.  À quelle hauteur le verre que vous avez choisi sera-t-il rempli ?
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73
À la piscine.

Graphique lié à l'exercice 21
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Voici les plans dʼune piscine, dont la profondeur croit progressivement de 1 m à 3 m.

1.  Exprimez le volume dʼeau contenu dans la piscine comme différence entre le volume dʼun parallélépipède rectangle et celui dʼun prisme droit.
 2.  Déduisez-en le volume dʼeau contenu dans cette piscine.
 3.  Pour des raisons dʼhygiène, la piscine doit être complètement vidée, puis remplie à nouveau avec de lʼeau propre. On remplit la piscine à lʼaide dʼune pompe dʼun débit de 45 L/min. En une minute, la pompe délivre un volume de 45 L dʼeau. À lʼaide dʼun tableau de proportionnalité, déterminez la durée nécessaire pour remplir la piscine. On exprimera cette durée en minutes, puis en heures.
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74
Pyramide régulière à base carrée et cône.

Graphique lié à l'exercice 22
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  • La base de la pyramide \text{SABCD} est un carré de 6 cm de côté.
  • La hauteur des faces latérales de \text{SABCD} mesure 5 cm.
  • Le rayon du cône mesure 3 cm.
  • La pyramide et le cône ont le même volume.

1.  Déterminez la hauteur \text{SO} de la pyramide.
 2.  Déterminez une valeur arrondie au dixième de la hauteur du cône.
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75
Pyramide.

La pyramide suivante de petits cubes comporte 5 étages. Le volume dʼun petit cube est de 1\:\text{cm}^3.
Pyramide composée de cubes
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1. Calculez le volume dʼune telle pyramide si elle comporte 10 étages.
 2. À lʼaide de la formule du cours, calculez le volume de la pyramide ci-dessous.
c4.11.inf709-01.svg
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3.  Comparez les résultats des questions 1.  et 2. . Quʼen pensez-vous ?
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76
Prisme droit et cube.

1. Calculez le volume et lʼaire de la surface de ce prisme droit.
Aide
La surface dʼun volume est lʼaire de son patron.
Prisme droit et cube.
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2. Calculez le volume et lʼaire de la surface de ce cube.
Prisme droit et cube.
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3.  Expliquez sans calcul pourquoi les deux volumes sont égaux mais les aires de leurs surfaces sont différentes.
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77
Crayon.

Crayon
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1.  Calculez le volume de ce crayon !
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78
Rotation et volume.

triangle
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Triangle sur un axe de rotation
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On attache le plus long côté de ce triangle à un axe de rotation.

1.  Quel est le volume du solide obtenu ?
Coup de pouce
Le solide obtenu correspond à la combinaison de deux solides connus opposés par leur base.
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79
Travaux sur le toit.

Un couvreur doit commander des tuiles qui mesurent 20 cm de largeur et 35 cm de longueur pour refaire un toit à quatre versants. Voici un schéma du toit.
Graphique lié à l'exercice 30
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1.  Estimez combien de tuiles il faudra commander pour couvrir le toit entièrement.
 2.  Expliquez pourquoi il sʼagit seulement dʼune estimation.
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80
Trapèze et volume.

On fait tourner le trapèze \text{ABCD} autour de lʼaxe \text{(CD)}. \text{AB = 30 cm}.
Graphique lié à l'exercice 31
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1. Décrivez lʼobjet que lʼon obtient.
 2.  Calculez son volume.
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81
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).

On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm dʼarête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté suivant.La hauteur du prisme est égale à la moitié de lʼarête des cubes.
Solide
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Prisme
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1. /b> On nomme ce prisme \text{ABCDEF}, comme sur la figure ci-dessus. Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifiez la réponse.
 2.  Vérifiez, par des calculs, que la longueur \text{AC} = 4 \sqrt{2} cm.
 3.  Déduisez-en la valeur exacte de lʼaire de la face \text{ACDF}. Donnez lʼarrondi au mm^2 près.
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82
Un verre dʼeau fraiche.

Graphique lié à l'exercice 34
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On considère un verre cylindrique de 8 cm de hauteur dont la base est un disque de 3 cm de rayon. On sert de lʼeau dans ce verre et on y ajoute un glaçon cubique de 2 cm dʼarête.Le verre est désormais plein à ras bord.

1.  Quel volume dʼeau a-t-on servi ? Exprimez-le en cm^3 puis en cL.
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83
Remplissage dʼune écluse.

Le débit moyen q dʼun fluide dépend de la vitesse moyenne v du fluide et de lʼaire S de lʼespace par lequel il sʼécoule. ll est donné par la formule suivante : q = S \times v où q est exprimé en \text{m}^3/\text{s} ; S est exprimé en \text{m}^2 ; v est exprimé en \text{m}/\text{s}. On considèrera que la vitesse moyenne dʼécoulement de lʼeau à travers la vanne dʼune écluse durant le remplissage est v = 2\text{,}8 m/s. La vanne a la forme dʼun disque de rayon \text{R} =~30 cm.

1.  Quelle est lʼaire exacte, en m^2, de la vanne dʼune écluse ?
Coup de pouce
Aire du disque =\pi \times r^{2}.

2.  Déterminez le débit moyen arrondi au millième de cette vanne durant le remplissage.
Coup de pouce
Utilisez la formule donnée dans lʼénoncé.

3.  Pendant combien de secondes faudra-t-il patienter pour le remplissage dʼune écluse de capacité 756 m^3 ? Est-ce quʼon attendra plus de 15 minutes ?
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84
Essuie-tout.

modélisation d'un rouleau dʼessuie-tout par un cylindre
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On modélise un rouleau dʼessuie-tout par un cylindre de révolution de 20 cm de hauteur.

1.  Sachant que lʼépaisseur totale de papier est de 2,5 cm, calculez le volume de papier contenu dans ce rouleau.
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85
Abat-jour.

Théo veut construire un abat-jour. Il a dessiné la figure suivante sur un tissu.
Graphique lié à l'exercice 85
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1.  Recopiez cette figure à lʼéchelle 1/5e et colorez la partie que Théo veut utiliser pour son abat-jour.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2.  Quelle surface de tissu va-t-il découper ?
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86
Patron et aire.

Voici le patron dʼun cône formé par un disque de rayon r et par un secteur de cercle dʼangle \text{α} et de rayon R.
Base du cône
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Base du cône
Graphique lié à l'exercice 38
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1.  Complétez le tableau suivant, sachant que lʼon appelle « aire du cône » lʼaire des figures qui forment son patron.

r \alpha R Airecône
 		90° 8 dm
12 cm 108°
10 m
12 m
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87
Ballon météorologique.

Des scientifiques gonflent un ballon météorologique sphérique dʼun rayon dʼun mètre avec de lʼhélium.On suppose que la température à lʼintérieur de ce ballon reste constante.La loi des gaz parfaits implique que le produit entre la pression P à la surface de ce ballon et le volume V de ce ballon reste constant.On a donc une égalité de la forme PV = a.

1.  Donnez le volume de ce ballon lorsquʼil est lancé au sol.
 2.  Lorsque le ballon monte dans lʼatmosphère la pression diminue. Comment évolue alors le volume du ballon ? Celui-ci se gonfle-t-il ou se dégonfle-t-il ?
 

3.  Lʼélasticité du ballon lui permet de doubler de rayon avant dʼéclater. Calculez le volume du ballon au moment où celui-ci éclate.
 4.  Le but des scientifiques est dʼutiliser ce ballon pour étudier lʼatmosphère à 11 000 m dʼaltitude. À cette altitude, la pression nʼest que le quart de celle de la surface de la Terre. Le ballon pourra-t-il arriver à cette altitude ?
 
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A
Exercice numérique

Les villes de Paris et Shanghaï sont distantes de 9 257 km. Julien part de Paris à 2 h 38 et arrive à Shanghaï à 23 h 43.

1.  Sachant que les heures données sont les heures locales et qu'il y a 7 heures de décalage horaire entre ces deux villes, déterminer la vitesse de l'avion qu'il a pris.
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B
Exercice numérique

Pour tester toutes les possibilités d'un code composé de 3 chiffres puis de 2 lettres, il faut 125 jours, 4 heures, 26 minutes et 40 secondes.

1.  Donner le temps nécessaire pour tester une seule combinaison.
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Tâche complexe
Une arnaque ?

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Énoncé

Au IIIe siècle av. J.-C., le roi Hiéron II de Syracuse commande une couronne à un orfèvre et lui donne pour cela 2 kg dʼor. Une fois son ornement fabriqué, le roi en vérifie la masse : 2 kg. Ayant des doutes sur lʼhonnêteté de lʼartisan, il demande à Archimède de vérifier que sa couronne est faite exclusivement dʼor.

1.  Que va répondre Archimède ? Lʼorfèvre a-t-il trompé le roi ? Si oui, quelle masse dʼor a-t-il subtilisée ?
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Doc. 1
La masse de lʼargent.

Lʼargent est moins dense que lʼor.
  • La masse volumique de lʼargent est de 10,5 g/cm3.
  • La masse volumique de lʼor est de 19,3 g/cm3.
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Doc. 2
Lʼexpérience.

On remplit une bassine cylindrique dont le diamètre de la base mesurait 24 cm avec 5 L dʼeau.
bassines cylindrique
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