Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu dʼécrire 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 2^6 et on lit « 2 puissance 6 ».

2 puissance 6 où on apelle 2 la base et 6 l'exposant. La base indique quel nombre il faut multiplier répétitivement par lui-même. Et l'exposant indique le nombre de fois que l'on multiplie la base répétitivement par elle-même.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 1 à 19
p. 153 - 155.

Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe « - » fait partie de la base : (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9, alors que -3^2 = -(3 \times 3) = -9.

Aide

Quelle que soit la valeur de a, a^0 = 1.

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2
Puissance à exposant négatif

Définition

Pour tout nombre a non nul et tout entier positif {\color{#c51e50}n}, une puissance de a à lʼexposant négatif {\color{#c51e50}-n} sʼécrit :

a{\color{#c51e50}^{-n}} = \dfrac {1}{a{\color{#c51e50}^n}} = \underbrace{\dfrac{1}{a\times a \times ... \times a}}_{a\: \text{écrit {\color{#c51e50}n} fois}}

Exercices n° 7 à 19
p. 153 - 155.

Exemple :
\dfrac {1}{5^4} = 5^{-4} et 7^3 = \dfrac{1}{7^{-3}}

Remarque : a^{-n} est l'inverse de a^n

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3
Signe d'une puissance

Propriété

Si a est un nombre non nul et n un entier non nul :

si a > 0, alors a^n > 0 ;
si a \lt 0 :
- si n est pair, alors a^n > 0 ;
- si n est impair, alors a^n \lt 0.

Exercices n° 1 à 19
p. 153 - 155.

Exemples :

2^4 > 0

(-2)^3 = -8 \lt 0

3^{-3} = \dfrac{1}{27} > 0

(-2)^2 = 4 > 0

(-2)^{-3} = - \dfrac{1}{8} \lt 0

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B
Calculs avec les puissances

J'approfondis

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Propriétés

Si {\color{#006141}m} et {\color{#c51e50}n} sont des entiers et a un nombre non nul

a{\color{#006141}^m} \times a{\color{#c51e50}^n} = a^{{\color{#006141}m} + {\color{#c51e50}n}}

\dfrac{a^{\color{#006141}m}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac{a}{b} \right)^{{\color{#006141}m} - {\color{#c51e50}n}}

Exercices n° 20 à 30
p. 155.

Attention

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Remarque : Si p est un entier positif, on généralise la règle précédente :

(a^{n})^{\color{green}{p}}= \color{green}\underbrace{\color{black}a^{n} \times a^{n} \times \ldots \times a^{n}=a^{n \times \color{green}p}}_{a\: \text{écrit p fois}}

Propriétés

Si n est un entier et a et b des nombres non nuls
a^{\color{#c51e50}n} \times b^{\color{#c51e50}n} = (a \times b)^{\color{#c51e50}n}

\dfrac {a^{\color{#c51e50}n}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac {a}{b}\right) ^{\color{#c51e50}n}

Exercices n° 20 à 30
p. 155.

Exemple :
\begin{aligned} \frac{8^{4}}{7^{4}} & =\frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7} \\ & =\frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \\ & =\left(\frac{8}{7}\right)^{4} \end{aligned}

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C
L'écriture scientifique

J'approfondis

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1
Multiplication par une puissance 10

Rappel

Pour un entier n positif :

10^{\color{#c51e50}n} s'écrit avec un 1 suivi de {\color{#c51e50}n} zéros.
10^{\color{#006141}-n} s'écrit avec un 1 précédé de {\color{#006141}n} zéros.

Exercices n° 31 à 45
p. 156 - 157.

Exemples :

10 puissance 6 = 1 000 000, soit 6 zéros

Le zoom est accessible dans la version Premium.

10 puissance -5 = 0,00 001, soit 5 zéros et 10 puissance 0 = 1

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Définition

Si n est un entier positif :

Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{\color{#c51e50}n} revient à décaler la virgule de {\color{#c51e50}n} crans vers la droite.
Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{{\color{#006141}-n}} revient à décaler la virgule de {\color{#006141}n} crans vers la gauche.

Exercices n° 32 à 45
p. 156 - 157.

J'applique

Consigne :
Calculez :
a. 51\text{,}328 \times 10^2
b. 41\text{,}39 \times 10^4
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1}
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3}

Correction :
a. 51\text{,}328 \times 10^2 = 5\:132\text{,}8
b. 41\text{,}39 \times 10^4 = 413\:900
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1} = 94\text{,}23
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3} = 0\text{,}008312

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2
Écriture scientifique

Définition

Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme suivante :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 31 à 45
p. 156 - 157.

Aide

La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Exemples :
En écriture scientique :

453\text{,}2 = 4\text{,}532 \times 10^2
-0\text{,}26 = - 2\text{,}6 \times 10^{-1}
893\:500\:000\:000 = 8\text{,}935 \times 10^{11}
0\text{,}000\:000\:004\:603 = 4\text{,}603 \times 10{^-9}
1 = 1 \times 10^0

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3
Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

Méthode

On lit l'ordre de grandeur d'un nombre positif en écriture scientique dans l'exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.

Exercices n° 41 à 45
p. 156 - 157.

J'applique

Consigne :
Comparez 9\text{,}1 \times 10^4 et 8\text{,}9 \times 10^{-3}.

Correction :
10^4 \leq 9\text{,}1 \times 10^4 \lt 10^5
10^{-3} \leq 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 10^{-2}
Or 10^{-2} \lt 10^4
Donc 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 9\text{,}1 \times 10^4

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Puissances

ANotion de puissance

1 Puissance à exposant positif

2Puissance à exposant négatif

3Signe d'une puissance

BCalculs avec les puissances

CL'écriture scientifique

1Multiplication par une puissance 10

J'applique

2Écriture scientifique

3Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

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A
Notion de puissance

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Puissance à exposant positif

2
Puissance à exposant négatif

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C
L'écriture scientifique

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Multiplication par une puissance 10

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Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique