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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études
Fonctions logarithme népérien et exponentielle
✔ Connaître et utiliser la représentation graphique de la fonction logarithme népérien sur son intervalle de définition.
✔ Connaître et utiliser la définition du nombre \mathbf{e}.
12 professeurs ont participé à cette page
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Définition
La fonction logarithme népérien, notée \ln, est la fonction définie sur ] 0 \:;+\infty[ vérifiant, pour tout x > 0, (\ln (x))^{\prime}=\frac{1}{x} et \ln (1)=0.Sens de variation
Comme sa dérivée est strictement positive sur ] 0 \:;+\infty[, la fonction \ln est strictement croissante sur ] 0 \: ;+\infty[.
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Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction \ln passe par les points de coordonnées (1 \:; 0), car \ln (1) = 0 et (\text{e} \:; 1), où \mathrm{e} \simeq 2{,}718 est le nombre défini par \ln (\mathrm{e})=1.Propriétés
Pour tout réel a > 0, le nombre \ln (a) est
l'unique solution de l'équation \mathrm{e}^{x}=a.
Remarque
Cette propriété est similaire à celle
du logarithme décimal où le nombre \log (a) est
l'unique solution de l'équation 10^x = a.
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Exercice corrigé
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Énoncé
Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'inéquation \ln (x) \geqslant 2. On donnera la solution sous la forme x \geqslant b.
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Solution
- \ln (x)=2 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{2}.
La solution de l'équation \ln (x)=2 est donc \text{e}^{2} \approx 7{,}39. - La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 \: ;+\infty[, donc \ln (x) \geqslant 2 \Leftrightarrow x \geqslant \mathrm{e}^{2}.
- On peut vérifier graphiquement ce résultat.
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Méthode
- On résout l'équation \ln (x) = 2 en utilisant l'équivalence x=\ln (a) \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=a.
- On utilise la croissance de la fonction \ln : l'ensemble des solutions de l'inéquation \ln (x) \geqslant 2 est l'ensemble des nombres supérieurs à la solution de l'équation \ln (x) = 2.
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Exercices
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Exercice 1
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les équations suivantes.
1. \ln (x)=3
2. 8 \ln (x)=40
3. -4 \ln (x)=-2
1. \ln (x)=3
2. 8 \ln (x)=40
3. -4 \ln (x)=-2
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Exercice 2
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.
1. \ln (x)\lt1
2. \ln (x) \leqslant 0
3. \ln (x)>\ln (4)
1. \ln (x)\lt1
2. \ln (x) \leqslant 0
3. \ln (x)>\ln (4)
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Exercice 3
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.
1. \ln (x) \geqslant \ln (0{,}5)
2. \ln (x) \leqslant 0{,}5
3. \ln (x)>10
4. 2 \ln (x)\lt4
1. \ln (x) \geqslant \ln (0{,}5)
2. \ln (x) \leqslant 0{,}5
3. \ln (x)>10
4. 2 \ln (x)\lt4
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Exercice 4
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.
1. -\ln (x)\lt1
2. -5 \ln (x) \leqslant 0
3. 0{,}5 \ln (x)>1
1. -\ln (x)\lt1
2. -5 \ln (x) \leqslant 0
3. 0{,}5 \ln (x)>1
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Exercice 5
Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.
1. f: x \mapsto-5 \ln (x)
2. g: x \mapsto \frac{1}{2} \ln (x)
3. h: x \mapsto 3 \ln (x)+x
1. f: x \mapsto-5 \ln (x)
2. g: x \mapsto \frac{1}{2} \ln (x)
3. h: x \mapsto 3 \ln (x)+x
Rappel
Si k est un nombre réel et f une
fonction, la fonction dérivée de k \times f est k \times f^{\prime}.
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Exercice 6
Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.
1. f: x \mapsto 2 x^{2}+\ln (x)
2. g: x \mapsto 5 x^{3}+\frac{2}{3} \ln (x)
3. h: x \mapsto \ln (x)+\frac{2}{3} \ln (x)
1. f: x \mapsto 2 x^{2}+\ln (x)
2. g: x \mapsto 5 x^{3}+\frac{2}{3} \ln (x)
3. h: x \mapsto \ln (x)+\frac{2}{3} \ln (x)
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Exercice 7
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une fonction f et sa dérivée f^{\prime}. Identifier les courbes représentatives de f et f^{\prime}. Justifier.
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Exercice 8
Les courbes
des fonctions f: x \mapsto-\ln (x), g: x \mapsto \ln (x+2), h: x \mapsto \ln (x)+2 et m: x \mapsto \ln (-x) sont représentées sur le graphique ci-dessous.
Associer chaque courbe à sa fonction.
g: x \mapsto \ln (x+2)
h: x \mapsto \ln (x)+2
m: x \mapsto \ln (-x)
Justifier la réponse.
Associer chaque courbe à sa fonction.
f: x \mapsto-\ln (x)
g: x \mapsto \ln (x+2)
h: x \mapsto \ln (x)+2
m: x \mapsto \ln (-x)
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Exercice 9
On considère la fonction g: x \mapsto-0,5 x^{2}+\ln (x) définie sur ] 0\: ;+\infty[.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de g en x = 2 en arrondissant les coefficients au dixième.
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Exercice 10
On considère la fonction h: x \mapsto 3 x-2 \ln (x) définie sur ] 0 \:;+\infty[.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de h en x = 1.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de h en x = 1.
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Exercice 11
On considère la fonction f: x \mapsto-\frac{x}{2}+10 \ln (x) définie sur ] 0 \:;+\infty[.
1. Déterminer l'expression de f^{\prime}(x) pour x \in ] 0 \:;+\infty[.
2. En déduire le tableau de variations de f.
1. Déterminer l'expression de f^{\prime}(x) pour x \in ] 0 \:;+\infty[.
2. En déduire le tableau de variations de f.
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Exercice 12
Dans une usine de production de savon, le coût de production, en euro, est donné, en fonction de la quantité produite, en litre, par la fonction f: x \mapsto 4 x-5 \ln (x), pour x \in] 0 \: ; 10].
Le coût unitaire est défini par g: x \mapsto \frac{f(x)}{x}.
Le coût marginal d'une quantité q est défini comme le coût de production d'un litre supplémentaire quand on a déjà produit q litres. On choisit d'approcher le coût marginal par la dérivée du coût total f.
1. a. Donner l'expression du coût marginal f^{\prime}(x) en fonction de x pour x \in] 0 \:; 10].
b. En déduire les variations de f sur ] 0 \:; 10].
2. On admet que le coût unitaire est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
a. Résoudre l'équation 4-\frac{5 \ln (x)}{x}=4-\frac{5}{x} sur ] 0 \:; 10] et interpréter ce résultat.
b. Déterminer le coût unitaire minimal.
Le coût unitaire est défini par g: x \mapsto \frac{f(x)}{x}.
Le coût marginal d'une quantité q est défini comme le coût de production d'un litre supplémentaire quand on a déjà produit q litres. On choisit d'approcher le coût marginal par la dérivée du coût total f.
1. a. Donner l'expression du coût marginal f^{\prime}(x) en fonction de x pour x \in] 0 \:; 10].
b. En déduire les variations de f sur ] 0 \:; 10].
2. On admet que le coût unitaire est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
a. Résoudre l'équation 4-\frac{5 \ln (x)}{x}=4-\frac{5}{x} sur ] 0 \:; 10] et interpréter ce résultat.
b. Déterminer le coût unitaire minimal.
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