On appelle fonction exponentielle la fonction exponentielle de base \text{e}. Elle est définie sur \R, strictement positive et strictement croissante.

Propriétés

\ln (\mathrm{e})=1
Pour tout x>0 et a \in \mathbb{R}, \ln (x)=a \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{a}.
La représentation graphique de la fonction exponentielle est le symétrique de la courbe représentative de \ln par rapport à la droite d'équation y = x.

Poursuite d'études,Fonctions logarithme népérien et exponentielle

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Propriétés

Pour tout x \in \mathbb{R}, \ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x.
Pour tout y>0, \mathrm{e}^{\ln y}=y. En particulier, \mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}^{\ln (1)}=1.

Propriétés

Soit a, b et k des nombres réels.

\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}
\mathrm{e}^{a-b}=\frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}
\mathrm{e}^{k a}=\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{k}
\mathrm{e}^{-b}=\frac{1}{\mathrm{e}^{b}}

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Exercice corrigé

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Énoncé

Résoudre dans ] 0\: ;+\infty[ l'équation x^7 = 0{,}15.
On donnera une valeur approchée au centième.

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Solution

x^7 = 0{,}15 équivaut à \ln \left(x^{7}\right)=\ln (0{,}15).
Or \ln \left(x^{7}\right)=7 \times \ln (x), on a donc 7 \times \ln (x)=\ln (0{,}15) soit \ln (x)=\frac{\ln (0{,}15)}{7} \approx-0{,}27.
Ainsi une valeur approchée de x est x \approx \mathrm{e}^{-0{,}27} \approx 0{,}76.

Méthode

On cherche l'unique réel x > 0 tel que x^7 = 0{,}15.

On applique la fonction \ln des deux côtés de l'équation : x^7 = 0{,}15 équivaut à \ln \left(x^{7}\right)=\ln (0{,}15).

On utilise les propriétés de la fonction \ln pour simplifier l'expression \ln\left(x^{7}\right).

On résout cette équation d'inconnue \ln(x).

On utilise la propriété \ln(x) = a équivaut à x = \text{e}^a pour déduire la valeur de x de celle de \ln(x).

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Exercices

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Exercice 26

Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{-4} \times \mathrm{e}^{3}

2. \mathrm{B}=\mathrm{e}^{-2{,}5} \times \mathrm{e}

3. \mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{4}\right)^{2}

4. \mathrm{D}=\frac{\mathrm{e}^{1{,}3}}{\mathrm{e}^{2}}

5. \mathrm{E}=\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{k}}

6. \mathrm{F}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{4}

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Exercice 27

Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-2 x}

2. \mathrm{B}=\mathrm{e}^{3 x+1} \times \mathrm{e}^{-5}

3. \mathrm{C}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{-3}}

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Exercice 28

Écrire plus simplement les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{\ln (6)}

2. \mathrm{B}=2 \times \ln \left(\mathrm{e}^{0{,}1}\right)

3. \mathrm{C}=\ln \left(\mathrm{e}^{5} \times \mathrm{e}^{-2}\right)

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Exercice 29

Résoudre dans ] 0\: ;+\infty[ l'équation x^{1{,}5}=\mathrm{e}^{3}, où \mathrm{e} est défini par \ln (\mathrm{e})=1.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.

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Exercice 30

Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'équation x^{12} = 1.

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Exercice 31

Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'équation x^{10} = 6.
Donner une valeur approchée au centième.

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Exercice 32

Donner une valeur approchée à 10^{-1} près de la solution dans ] 0 \:;+\infty[ de l'équation (2 x)^{3}=1{,}6.

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Exercice 33

Résoudre sur ]-1\: ;+\infty[ l'équation (x + 1)^7 = 1.

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Exercice 34

En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur \R les équations.

1. \mathrm{e}^{3 x+1}=\mathrm{e}^{4}

2. \mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{x-1}

3. \mathrm{e}^{-5 x+8}=\mathrm{e}^{-1}

4. \mathrm{e}^{9-x}=1

5. \mathrm{e}=\mathrm{e}^{-4 x-3}

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Exercice 35

En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur \R les inéquations.

1. \mathrm{e}^{x-7}\lt\mathrm{e}^{2 x}

2. \mathrm{e}^{5 x} \leqslant \mathrm{e}^{5}

3. \frac{\mathrm{e}^{8 x+9}}{\mathrm{e}^{x}}>1

4. \mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{4 x} \geqslant \mathrm{e}^{5}

5. \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}\lt\mathrm{e}^{3}

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Exercice 36

En utilisant les propriétés de la fonction logarithme, résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les équations.

1. \ln (3 x)=\ln (12)

2. \ln (x+2)=\ln (20)

3. \ln (x)=-\ln (x)

4. \ln (4 x)=\ln \left(x^{2}\right)

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Exercice 37

Déterminer les ensembles de définition des fonctions.

1. f: x \mapsto \ln (3 x-15)

2. g: x \mapsto \ln (8-5 x)

3. h: x \mapsto \ln \left(x^{2}+1\right)

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Exercice 38

Résoudre sur ] 0\: ;+\infty[ les équations.

1. (2 x)^{1{,}2}=4^{1{,}2}

2. x^{0{,}5}=x

3. (x-5)^{9}=121

4. x^{3{,}5} \times x^{2}=16

5. \left(x^{-8}\right)^{0{,}5}=20

6. (x+3)^{4}=4\:096

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Exercice 39

Résoudre sur \R les équations.

1. 1{,}4^{-x}=6

2. 0{,}8^{x+2}=0{,}5

3. \left(\frac{1}{3}\right)^{x}=0{,}1

4. 2^{x}=6

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Exercice 40

Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations.

1. \ln (5 x) \geqslant \ln (35)

2. \ln (x+3)>\ln (14)

3. \ln (x+6)\lt\ln (2 x)

4. \ln (7 x) \leqslant \ln \left(x^{2}\right)

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Exercice 41

Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations.

1. 1{,}5^{x} \geqslant \mathrm{e}^{5}

2. \mathrm{e}^{\ln (x)} \geqslant \mathrm{e}^{4}

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