• La mesure de l'effectif d'une population donne un nombre fini de mesures sur une certaine durée : la population est une grandeur discrète.


• L'évolution d'une population peut être modélisée :
• par une suite arithmétique pour une variation absolue constante ;
• par une suite géométrique pour un taux d'accroissement constant.

A

Définition (par récurrence)

• Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison de la suite.
  Autrement dit, pour tout entier naturel n : u(n + 1) = u(n) + r, avec r la raison de la suite.
• De manière générale, le terme de rang p est appelé valeur de u(p).

B

Propriété (définition explicite)

• Étant donné une suite arithmétique u de raison r et de premier terme u(0), on a pour tout n \in \mathbb{N} : u(n) = u(0) + n \cdot r.


• Cas général : pour tout n \in \mathbb{N} et tout p \in \mathbb{N}, u(n) = u(p) + (n – p) \cdot r.


• Exemple : n = 8, p = 1 : u(8) = u(1) + (8 – 1) \cdot r = u(1) + 7r.

A

Définition (par récurrence)

• Une suite est géométrique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison de la suite.
  Autrement dit, pour tout entier naturel n : u(n + 1) = u(n) \cdot q, avec comme premier terme u(0).


• Les suites géométriques modélisent des phénomènes de variations relatives constantes, c'est-à-dire les modèles exponentiels.

B

Propriété (définition explicite)

• Étant donné une suite géométrique u de raison q et de premier terme u(0), on a pour tout n \in \mathbb{N} : u(n) = u(0) \cdot q^n.


• Cas général : pour tout n \in \mathbb{N} et tout p \in \mathbb{N}, u(n) = u(p) \cdot q^{n – p}.


• Exemple : n = 11, p = 1 : u(11) = u(1) \cdot q^{11 – 1} = u(1) \cdot q^{10}.

C

Modèle démographique de Malthus

• Malthus utilisait le modèle géométrique pour prévoir l'évolution de la population à partir du taux d'accroissement, qui est la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité. Son modèle est valide sur des temps courts mais irréaliste sur des temps longs, en raison de l'insuffisance des ressources.

\N désigne l'ensemble des entiers naturels (entiers supérieurs ou égaux à zéro). Le symbole \in signifie « appartenant à ».