Puissance et énergie
Lois dans les circuits électriques
Représentation d'un circuit électrique

De l'usine de production jusqu'à l'utilisateur, le circuit de transport de l'électricité se schématise par un ensemble de lignes électriques reliant les deux extrémités.

Le transformateur est un dispositif électrique qui permet de modifier la tension et l'intensité d'un courant alternatif, tout en conservant sa fréquence et la forme du signal électrique. Il est constitué de deux enroulements de fils indépendants autour d'un noyau en fer. N_1 et N_2 correspondent au nombre d'enroulements autour du noyau. U_1 et U_2 correspondent aux tensions efficaces aux bornes du transformateur. I_1 et I_2 correspondent aux intensités efficaces dans les deux circuits. Le rapport m du transformateur vaut :
m= \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{I_1}{I_2}.


La puissance P est transmise intégralement du circuit primaire au circuit secondaire

Pour étudier l'influence de la tension sur les pertes par effet Joule, on réalise un circuit dont le schéma est représenté ci-contre.
Le générateur est un générateur de tension alternative pouvant délivrer la tension et l'intensité souhaitées. La résistance R représente les lignes électriques transportant le courant. Le transformateur \text{T} correspond au transformateur abaissant la tension avant de délivrer l'électricité aux consommateurs. On le suppose relié au circuit local de distribution. Toutes les tensions affichées sur le schéma sont des tensions efficaces.

Le distributeur d'électricité garantit au consommateur la puissance souhaitée, dans la limite des conditions imposées par le contrat.
Cela signifie notamment que la facturation a lieu uniquement sur l'énergie effective qui parvient au consommateur et non pas sur l'énergie délivrée depuis les centrales. Toute perte lors du transport incombe donc au distributeur et, en plus de l'impact écologique, constitue un manque à gagner.

Le rendement r est défini comme le rapport entre une grandeur utile (ou recueillie) en sortie et une grandeur fournie.
Ici, la grandeur souhaitée est P_\text{T} et la grandeur fournie est

Pour un dipôle générateur, la puissance transférée au circuit est P_\text{G} = U_\text{G} \cdot I, où U et I sont respectivement les valeurs efficaces de la tension aux bornes du générateur et l'intensité du courant délivrée par le générateur.
Pour un dipôle récepteur, la puissance transférée au récepteur est P_\text{r} = U_\text{r} \cdot I, où U et I sont respectivement les valeurs efficaces de la tension aux bornes du générateur et l'intensité traversant le récepteur.
La totalité de la puissance transmise au circuit est transférée aux dipôles.
Dans cette situation, le générateur transfère une puissance P_\text{G} = 40 kW au circuit, quelle que soit la valeur de la tension.

Un graphe est défini par :

• un ensemble S de sommets (que l'on appelle aussi nœuds ou points) ;
• un ensemble V d'arcs (appelées aussi arêtes).

Chaque arc relie deux sommets éventuellement identiques. Un chemin est défini par la succession d'arcs consécutifs reliant deux sommets. On peut l'exprimer comme la liste des sommets ou des arcs parcourus.

Des problèmes classiques sont résolus avec les graphes : coloration (nombre minimal de couleurs différentes pour que les sommets reliés entre eux soient tous de couleurs différentes), plus court chemin, recherche du chemin de plus faible poids dans un graphe pondéré, etc. Pour chacun de ces problèmes, il existe un ou plusieurs algorithmes permettant de les résoudre à l'aide d'un ordinateur.

Un réseau de transport électrique peut être modélisé par un graphe orienté.

Dans ce modèle :

• les arcs représentent les lignes électriques ;
• les sommets représentent soit les sources distributrices (centrales), soit les nœuds intermédiaires (postes de distribution) ou les cibles réceptrices (villes).

Une île comporte quatre villes. Pour répondre aux besoins énergétiques de ces quatre villes, un champ éolien, une centrale marémotrice et une centrale thermique ont été construits.

La répartition du courant se fait par l'intermédiaire de deux postes de distribution reliés entre eux. La centrale marémotrice et le champ éolien sont chacun reliés à un poste différent. La centrale thermique est reliée au même poste que le champ éolien. Deux villes sont connectées à un poste et les deux autres villes à l'autre.

Doc. 13 Avoir représenté le graphe modélisant le réseau électrique après avoir :

• identifié les différents sommets du graphe.
• identifié les différents arcs du graphe.
• identifié le sens des arcs.

Téléchargez

l'application Gephi pour visualiser et explorer des graphes.

Deux villes de moyenne montagne sont connectées à l'ensemble du réseau, mais l'électricité provient essentiellement de deux sources : une centrale hydroélectrique et une petite centrale à charbon.
Avant d'arriver aux villes, l'électricité passe par un poste électrique qui répartit le courant électrique en fonction des besoins.
On cherche ici à déterminer l'intensité du courant dans toutes les branches du réseau avec le minimum de perte d'énergie lors du transport de l'électricité.

La tension au sein du réseau étudié est de 20 kV.
La longueur des lignes reliant la centrale hydroélectrique au poste électrique est deux fois plus grande que celle reliant la centrale à charbon au poste électrique. La résistance est donc aussi deux fois plus grande. La résistance des autres branches est négligée.
La ville 1 a besoin d'une puissance électrique moyenne de 4,0 MW. La ville 2 a besoin d'une puissance électrique moyenne de 1,0 MW.

Pour respecter la réalité physique du système, le graphe doit répondre à plusieurs contraintes :

• l'intensité totale qui sort d'une source (usine de production) est limitée par la puissance maximale distribuée aux utilisateurs ;
• l'intensité totale entrant dans un nœud intermédiaire est égale à l'intensité totale qui en sort ;
• l'intensité totale qui arrive à une cible (l'utilisateur) est imposée par la puissance qui est consommée par cet utilisateur ;
• la valeur de la résistance des lignes reliant la centrale à charbon au poste de distribution est arbitrairement prise comme valant 1 Ω.

La puissance transportée par les lignes électriques est P = U \cdot I, où I est l'intensité du courant et U la tension aux bornes du dipôle.