Soit \text{F} une fonction définie sur \text{I}. On dit que \text{F} est une primitive de f sur \text{I} lorsque \text{F} est dérivable sur \text{I} et que \mathrm{F}'=f. On dit alors que \text{F} est solution de l'équation y'=f, appelée équation différentielle, dont l'inconnue est la fonction y.

y'=f signifie que, pour tout x \in \mathrm{I}, y^{\prime}(x)=f(x).

Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n'est pas unique.

Soient x_0 un réel de \text{I} et y_0 un réel quelconque. L'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=f admet une unique solution \text{F} sur \text{I} telle que \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}.

On rappelle que f est supposée continue.

f est continue et admet donc une primitive \text{G} sur \text{I} : \text{G} est une solution de (\mathrm{E}). Les fonctions x \mapsto \mathrm{G}(x)+k, avec k \in \mathbb{R}, sont dérivables sur \text{I} de dérivée \mathrm{G}', elles sont donc aussi des primitives de f sur \text{I} et donc des solutions de (\mathrm{E}).
La condition \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} équivaut à \mathrm{G}\left(x_{0}\right)+k=y_{0} \Leftrightarrow k=y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).
Ainsi, la valeur de k est unique et fixée par la condition initiale.
D'où l'unicité de la solution \text{F} de (\mathrm{E}) définie sur \text{I} par \mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).

La condition \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x} vérifiant \mathrm{F}(0)=-1.

• On cherche une primitive \text{G} de f. Ici f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
• On utilise le deuxième théorème en posant \mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+k, avec k \in \mathbb{R}.
• On calcule k avec la condition initiale.

À l'aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

• Pour obtenir toutes les primitives d'une fonction f sur un intervalle \text{I}, c'est‑à‑dire les solutions de y'=f, on ajoute une constante réelle k à la primitive \text{F}.
• Une primitive sur ] 0~;+\infty[ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (
  Fonction logarithme
  ).

Résoudre l'équation (\mathrm{E}): y^{\prime}=x^{2}+\cos (x) d'inconnue y définie sur \R.

• On vérifie que la fonction f est continue et admet donc des primitives.
• On utilise le tableau des primitives.
• Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle k.

Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{J} et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} telle que, pour tout x \in \mathrm{I}, u(x) \in \mathrm{J}.
Alors v \circ u est une primitive sur \text{I} de u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

v \circ u est une solution sur\text{ I} de l'équation différentielle y^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).