\boldsymbol{f} est une fonction définie et continue sur un intervalle \mathbf{I} de \R ; \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont des réels.

1

Une primitive de \boldsymbol{f} sur \mathbf{I} est une fonction \mathbf{F} dérivable sur \mathbf{I} telle que \mathbf{F}^{\prime}\boldsymbol{=f}. Cela permet de :

✔ démontrer qu'une fonction \text{F} est une primitive sur \text{I} d'une fonction f donnée ;
✔ justifier qu'une fonction f admet des primitives sur \text{I} ;
✔ obtenir toutes les primitives de f sur \text{I} en ajoutant une constante réelle k à une primitive \text{F} de f ;
✔ justifier qu'une équation différentielle du type y' = f admet des solutions sur \text{I} ;
✔ résoudre des problèmes en déterminant des fonctions dont on connaît la dérivée.

2

Il existe des formules pour déterminer les primitives des fonctions de référence et des fonctions de la forme \boldsymbol{u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)}. Cela permet de :

✔ justifier qu'une fonction admet des primitives sur \text{I} ;
✔ résoudre certaines équations différentielles y' = f.

3

Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants \boldsymbol{y' = ay} sont les fonctions définies sur \R par \boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{C e}^{\boldsymbol{a x}} où \mathbf{C} est une constante réelle. Cela permet de :

✔ résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre y'= ay + b en ajoutant la constante x \mapsto-\frac{b}{a} aux solutions de l'équation homogène associée ;
✔ résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre y'= ay + f en ajoutant une solution particulière \varphi aux solutions de l'équation homogène associée.