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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 10
Entraînement 2
Équations différentielles \bm{y'=ay+b} et \bm{y'=ay+f}
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Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.
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91
Flash
Les équations différentielles y^{\prime}=\frac{3}{2} y et 2 y^{\prime}+3 y=0 ont les mêmes solutions.
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92
Flash
La fonction constante égale à 0 est solution de toutes les équations y^{\prime}=a y+b où a et b sont réels.
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93
Flash
La fonction x \mapsto x est solution de l'équation différentielle y^{\prime}+y=x+1.
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94
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes. 1. 3 y^{\prime}+2 y=0
2. \frac{5}{3} y^{\prime}-y=0
3. 4 y^{\prime}+3 y=0
4. \sqrt{2} y^{\prime}-2 y=0
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95
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes. 1. 2 y^{\prime}=3 y
2. -y^{\prime}=\frac{3}{2} y
3. -2 y^{\prime}=\frac{1}{3} y
4. 5 y^{\prime}=\sqrt{5} y
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Déterminer la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.
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96
[Calculer.]
1. y^{\prime}-3 y=0 et y(0)=2.
2. y^{\prime}+4 y=0 et y(0)=-4.
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97
[Calculer.]
1. 2 y^{\prime}+3 y=0 et y(2)=1.
2. 5 y^{\prime}-2 y=0 et y(5)=\mathrm{e}.
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98
[Calculer.]
1. \sqrt{3} y^{\prime}+y=0 et y(\sqrt{3})=\frac{1}{\mathrm{e}^{3}}.
2. y^{\prime}-\pi^{2} y=0 et y\left(\frac{1}{\pi}\right)=\pi.
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99
[Calculer.]
1. \sqrt{2} y^{\prime}+2 y=0 et y(\sqrt{2})=\frac{1}{\mathrm{e}}.
2. 2 \pi y^{\prime}-y=0 et y(\pi)=-2 \mathrm{e}.
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100
[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=2 y.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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101
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle y'=ay où a est un réel et dont la fonction f est une solution. 1. f: x \mapsto-3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{x}{2}}}
2. f: x \mapsto-\sqrt{2} \mathrm{e}^{\sqrt{2} x}
3. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3-2 x}
4. f: x \mapsto \pi \mathrm{e}^{\pi+x}
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Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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102
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de l'équation y'-4y=0 qui prend la valeur y_0 en x_0 est la fonction définie sur \R par x \mapsto y_{0}+\mathrm{e}^{4\left(x-x_{0}\right)}.
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103
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction constante égale à 0 est solution de toutes les équations de la forme y'=ay où a est un réel.
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104
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l'équation différentielle y'=ay où a est un réel strictement positif ont pour limite +\infty quand x tend vers +\infty.
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105
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions de l'équation différentielle 3 y^{\prime}-2 y=1 sont de la forme \mathrm{Ce}^{-\normalsize\tfrac{1}{2} x}+\frac{2}{3}, où \text{C} est une constante réelle.
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Résoudre l'équation différentielle donnée en précisant l'ensemble de définition des solutions.
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106
[Calculer.]
1. 3 y^{\prime}-2 y+3=0
2. y^{\prime}+y=2 y^{\prime}-y+1
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107
[Calculer.]
1. 2 y^{\prime}-\sqrt{2} y=3 y^{\prime}-2 \sqrt{2} y+\sqrt{2}
2. 4 y^{\prime}+\sqrt{3} y=5 y^{\prime}+3 \sqrt{3} y-\sqrt{3}
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108
[Calculer.]
1. 2 y^{\prime}+2 \pi y=y^{\prime}-\pi y-\pi
2. 2 \mathrm{e} y^{\prime}+y=\mathrm{e} y^{\prime}-y+\mathrm{e}^{2}
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Déterminer la solution de l'équation différentielle qui prend la valeur y_0 en x_0.
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109
[Calculer.]
1. y^{\prime}-2 y=1 ; x_{0}=0 ; y_{0}=2
2. 2 y^{\prime}-y=3 y^{\prime}+y-1 ; x_{0}=0 ; y_{0}=1
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110
[Calculer.]
1. 3 y^{\prime}-3 y=2 y^{\prime}+2 y-5 ; x_{0}=\frac{1}{5} ; y_{0}=0
2. y-y^{\prime}=3 y^{\prime}+2 y+4 ; x_{0}=4 ; y_{0}=1
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111
[Calculer.]
1. \pi y^{\prime}-2 y=2 y-\pi y^{\prime}+\pi ; x_{0}=\pi ; y_{0}=\pi
2. \mathrm{e} y^{\prime}+2 y=y-2 \mathrm{e} y^{\prime}+\mathrm{e} ; x_{0}=3 \mathrm{e} ; y_{0}=2 \mathrm{e}
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Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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112
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3 x}-\frac{1}{3} définie sur \R est solution de y'=3y + 1.
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113
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de y'= ay + b avec a et b réels (a \neq 0) qui prend la valeur y_0 en x_0 est la fonction x \mapsto y_{0} \exp \left(a\left(x-x_{0}\right)\right)-\frac{b}{a} définie sur \R.
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114
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de y' + y = 1 qui prend la valeur 2 en 0 a pour limite +\infty en -\infty.
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Déterminer les solutions de l'équation différentielle en cherchant une solution particulière \varphi de la forme indiquée.
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115
[Calculer.]
1. 2 y^{\prime}+y=x+1 avec \varphi(x)=m x+p.
2. y^{\prime}+3 y=2 x-1 avec \varphi(x)=m x+p.
3. y^{\prime}-3 y=-3 x^{2}-x-2 avec \varphi(x)=a x^{2}+b x+c.
4. 2 y^{\prime}-3 y=3 x^{2}-x-2 avec \varphi(x)=a x^{2}+b x+c.
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116
[Calculer.]
1. y^{\prime}+3 y=(2+2 x) \mathrm{e}^{-2 x} avec \varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{-2 x}.
2. y^{\prime}+y=(3-2 x) \mathrm{e}^{x} avec \varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{x}.
3. y^{\prime}-2 y=-\left(3 x^{2}+x+2\right) \mathrm{e}^{-x} avec \varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}.
4. y^{\prime}+2 y=-\left(2 x^{2}-x+\frac{1}{2}\right) \mathrm{e}^{2 x} avec \varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2x}.
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117
GeoGebra
[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm3 d'un gaz dans la cuve A à un instant t=0 alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l'extérieur.
On appelle respectivement \mathrm{A}(t) et \mathrm{B}(t) le volume en cm3 de ce gaz dans les cuves A et B à l'instant t (exprimé en heure). On a donc \mathrm{A}(0)=10 et \mathrm{B}(0)=0.
On admet que les fonctions \text{A} et \text{B} sont définies et dérivables sur [0~;+\infty[ et vérifient les équations différentielles \mathrm{A}^{\prime}(t)=-5 \mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t) et \mathrm{B}^{\prime}(t)=2 \mathrm{A}(t)-2 \mathrm{B}(t).
1. On définit sur [0~;+\infty[ deux fonctions f et g par f(t)=\mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t) et g(t)=-2 \mathrm{A}(t)+\mathrm{B}(t).
a. Calculer f(0) et g(0).
b. Déterminer, pour tout t \in[0 ;+\infty[, f^{\prime}(t) et g^{\prime}(t) et en déduire que f et g sont solutions de deux équations différentielles de la forme y'=ay.
c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif t, f(t) et g(t).
d. En déduire, pour tout réel t positif, les expressions de \mathrm{A}(t) et \mathrm{B}(t).
a. Calculer f(0) et g(0).
b. Déterminer, pour tout t \in[0 ;+\infty[, f^{\prime}(t) et g^{\prime}(t) et en déduire que f et g sont solutions de deux équations différentielles de la forme y'=ay.
c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif t, f(t) et g(t).
d. En déduire, pour tout réel t positif, les expressions de \mathrm{A}(t) et \mathrm{B}(t).
2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions \text{A} et \text{B} sur [0~; 2] et déterminer expérimentalement l'instant \text{T}, arrondi à 10-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume \text{V} de gaz dont on donnera un arrondi à 10-3.
GeoGebra
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