On considère un réel x tel que x \geqslant 7.
Alors, x-4 \geqslant 7-4, c'est‑à‑dire x-4 \geqslant 3.
De plus, la fonction x \mapsto x^{2} est croissante sur [0~; +\infty[.
On a donc (x-4)^{2} \geqslant 3^{2}, soit (x-4)^{2} \geqslant 9.
Finalement, (x-4)^{2}+3 \geqslant 12.

• On part de l'hypothèse x \geqslant 7.
• On applique les propriétés de calcul dans les inégalités ainsi que les variations de la fonction carré.
• On aboutit à la conclusion.

10

Soit x un réel inférieur ou égal à 3.
Montrer que (x-5)^{2}+2 \geqslant 6.

11

On considère un triangle \text{ABC} tel que \mathrm{AB} = 3, \mathrm{BC} = 4 et \mathrm{AC} = 5. Quelle est la nature du triangle \text{ABC} ?

12

On considère deux réels x et y tels que 0 \lt x \lt y.

1. Montrer que \sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.

2. En déduire que \sqrt{x} \lt \sqrt{y}.

3. Que cela signifie‑t‑il pour les variations de la fonction x \mapsto \sqrt{x} sur \mathbb{R}^{+*} ?

13

On considère un parallélogramme \text{ABCD} et on appelle \text{I} le milieu de [\mathrm{AC}].
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. »

1. Donner un vecteur égal au vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. À l'aide de la relation de Chasles, décomposer ces deux vecteurs selon le point \text{I}.

3. Traduire par une égalité vectorielle que \text{I} est le milieu de [\mathrm{AC}] et démontrer que \text{I} est le milieu de [\mathrm{BD}].

14

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}), on considère les points \mathrm{A}(2~; 11), \mathrm{B}(-4~; 2), \mathrm{C}(3~;-1) et \mathrm{D}(7~; 5).
Montrer que les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.

15

Soient x un réel et h un réel non nul.

1. Simplifier le quotient \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.

2. En déduire que la fonction f: x \mapsto x^{2} est dérivable sur \R et que, pour tout réel x, f'(x) = 2x.

16

Soit q un réel différent de 1 et n un entier naturel non nul. On pose \mathrm{S}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n} q^{i}.

1. Exprimer q \mathrm{S}-\mathrm{S} en fonction de q.

2. En déduire la valeur de \text{S} en fonction de q.

17

Soient d et d' deux droites d'équations respectives y = mx + p et y = m'x + p', où m, m', p et p' sont des réels.

1. On suppose que m \times m' = -1. Démontrer que d et d' sont perpendiculaires.

2. Réciproquement, on suppose que d et d' sont perpendiculaires. Démontrer que m \times m' = -1.