Le principe du raisonnement par récurrence permet de montrer une proposition \mathcal{P}_{n} indexée sur l'ensemble des entiers naturels n où n est supérieur ou égal à un entier n_0. Il suffit alors de démontrer deux points :

• \mathcal{P}_{n} est vraie pour l'entier n_0 (initialisation) ;
• si \mathcal{P}_{n} est vraie pour un entier quelconque k supérieur ou égal à n_0, alors elle reste vraie pour l'entier suivant k + 1 (hérédité).
  

Ce raisonnement est encore appelé « raisonnement par induction complète ».
L'histoire des mathématiques fournit de nombreux exemples de raisonnements inductifs : on en trouve dans certaines démonstrations des éléments d'Euclide, chez Archimède ou encore chez Ibn al-Haytham ou Fibonacci.
On attribue à Pascal la première utilisation explicite du raisonnement par induction complète dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654. (

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). Des mathématiciens comme Fermat, Jacques Bernoulli et Euler le réutiliseront rapidement. Il faut attendre la construction axiomatique de l'ensemble \N par Dedekind (1888) et Peano (1889) qui donneront à ce raisonnement un statut fondamental qu'aucun mathématicien ne lui avait donné jusque là, sinon Grassman en 1861 et de manière confidentielle.