En 1765, Euler établit un résultat de géométrie à propos de l'alignement du
centre de gravité, de l'orthocentre et du centre circonscrit d'un triangle. Pour
arriver à ses fins, Euler utilise des calculs de coordonnées. Sa démonstration
tient sur vingt pages et est publiée dans un ouvrage du nom de Solution
Facile à Certains Problèmes Très Difficiles ! La notion de vecteur n'existait pas...
Hermann Grassmann publie en 1844 son Die Lineale Ausdehnungslehre. Même
si, sur le moment, cet ouvrage ne reçoit pas beaucoup d'échos, il a le mérite
de proposer, pour la première fois, un algèbre d'ordre nouveau basé sur les
vecteurs. Ce sera la naissance des espaces vectoriels. Les vecteurs existent de
façon autonome et leurs résultats peuvent être appliqués à de nombreuses
théories mathématiques, allant de la géométrie à l'informatique en passant
par les polynômes. Malgré l'apparition d'une géométrie sans figure, de
nombreuses démonstrations tiennent maintenant en quelques lignes.
Hermann Grassmann (1809-1877).
Voici des exemples d'axiomes.
Soient
a,
b et
c trois vecteurs et
\alpha et
\beta deux réels.
La somme
a + b est définie de façon unique ainsi que le produit
\alpha a par les propriétés suivantes :
- commutativité : a + b = b + a ;
- associativité : (a+b)+c=a+(b+c) ;
- il existe un unique vecteur d tel que a + d = b. On note alors d = b - a ;
- élément neutre de l'addition : 0 + a = a ;
- distributivité : (\alpha+\beta) a=\alpha a+\beta a et \alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b ;
- associativité du produit : \alpha(\beta a)=(\alpha \beta) a ;
- élément neutre du produit : 1a = a.
Dans ce qui suit, on présente un autre type de produit entre deux vecteurs appelé produit extérieur.
On note
a \otimes b le produit extérieur de
a par
b, représenté par l'aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs
a et
b.
L'aire est orientée signifie que
a \otimes b=-b \otimes a.