Mathématiques 6e

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 13
Volumes
Chapitre 12
Pas à pas

3. Cercles et disques

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A
Périmètre d'un cercle

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Découvrir

a. Prendre plusieurs objets ayant une forme de tube (tube de colle, rouleau de scotch de déménagement, bouteille, etc.).
b. Poser chaque objet sur sa partie « ronde » et mesurer son diamètre. Mesurer ensuite son périmètre à l'aide d'une cordelette et d'une règle.
c. Peut-on prévoir le périmètre d'un disque de 10 cm de rayon ?
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Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. Ainsi, si l'on multiplie par deux le diamètre, on multiplie par deux le périmètre.

Exemple : Le cercle noir a un diamètre quatre fois supérieur à celui du cercle violet. Son périmètre (« déroulé » en dessous) est aussi quatre fois supérieur à celui du cercle violet.

Placeholder pour Icône graphique : cercle noir avec un cercle violet central et une croix noire. Barre horizontale violette et noire en dessous.Icône graphique : cercle noir avec un cercle violet central et une croix noire. Barre horizontale violette et noire en dessous.
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  • Le coefficient de proportionnalité associé est un nombre très particulier : c'est le nombre \pi (il se lit « pi », c'est une lettre de l'alphabet grec).      
  • On ne peut exprimer précisément le nombre π avec une écriture décimale. Par contre, on sait très bien en donner des valeurs approchées.
    • 3 \text{\textless} \pi \text{\textless} 4
    • 3,1 \text{\textless} \pi \text{\textless} 3,2
    • 3,14 \text{\textless} \pi \text{\textless} 3,15 : on prend souvent 3,14 comme valeur approchée de \pi.
     
  •  
Placeholder pour Illustration : panneau de bois clair avec le symbole Pi en doré.Illustration : panneau de bois clair avec le symbole Pi en doré.

  • La calculatrice en donne une valeur approchée plus précise grâce à la touche π !
  •  
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Si un cercle a un diamètre de longueur D, alors il a un périmètre P de longueur \pi \times D. On a la formule :
  • Périmètre = \pi \times  diamètre 
  • P = \pi \times  D

Exemple : Un cercle de diamètre 2 cm a un périmètre mesurant 2 \times \pi cm. Une valeur approchée de \pi est 3,14. Son périmètre a donc une valeur approchée de 2 \times 3,14 cm = 6,28 cm.
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On mesure souvent le rayon d'un cercle au lieu de son diamètre. Le diamètre est le double du rayon. Si un cercle a un rayon R, un diamètre D et  un périmètre P, on a donc les formules :
  • Diamètre = 2 \times rayon 
  • D = 2 \times R
  • Périmètre = 2 \times \pi \times rayon 
  • P = 2 \times \pi \times R
Remarque : 
La formule P = \pi \times D donne une valeur exacte du périmètre. Ainsi un cercle de diamètre 7 cm a un périmètre mesurant exactement 7 \times \pi cm.

Exemple : Un cercle de rayon 3 cm a un périmètre mesurant exactement 2 \times 3 \times \pi cm = 6 \times \pi cm \approx 18\text{,}84 cm.
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Mesurer le diamètre d'un cercle

Mesurer le rayon et le diamètre du cercle. En déduire de deux manières différentes le périmètre de ce cercle.

Placeholder pour Illustration : règle mesurant le diamètre d'un cercle.Illustration : règle mesurant le diamètre d'un cercle.

  • Le rayon mesure 1 cm.
  • Donc le périmètre mesure environ 2 \times 3,14 \times 1 cm = 6,28 \times 1 cm = 6,28 cm.
    • Le diamètre mesure 2 cm.
  • Donc le périmètre mesure \pi \times 2 cm \approx 6,28 cm.
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Exercice 14
Donner le périmètre d'un disque de rayon...

1. 3 m.
2. 2,4 cm.
3. 5 mm.
4. 4,8 km.
5. 9,8 hm.
6. 7,4 cm.
7. 15 mm.
8. 27 km.
9. 48,8 hm.
10. 2,15 cm.
11. 10 mm.
12. 28,54 km.
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Exercice 13
Périmètres d'un cercle

Placeholder pour Schéma: trois cercles, (a) grand, (b) et (c) petits, chacun avec une croix au centre.Schéma: trois cercles, (a) grand, (b) et (c) petits, chacun avec une croix au centre.

Donner une valeur approchée du périmètre.
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B
Aire d'un disque

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Découvrir

a. Tracer un cercle de 8 cm de rayon.
b. Essayer de placer à l'intérieur de ce cercle deux cercles de 4 cm de rayon chacun, qui ne se chevauchent pas. Est-ce possible ?
c. L'aire d'un cercle est-elle donc proportionnelle au rayon du cercle ?

Placeholder pour Image graphique : cercle rouge sur fond quadrillé gris clair.Image graphique : cercle rouge sur fond quadrillé gris clair.

Ce disque fait 1 cm de rayon et les carreaux 1 mm de côté.

d. Ce disque fait 1 cm de rayon et les carreaux 1 mm de côté. Compter le nombre de carreaux qui sont entièrement dans le cercle, ainsi que le nombre de carreaux qui permet de recouvrir entièrement le cercle et son intérieur.
e. En déduire un encadrement de l'aire contenue dans le cercle, exprimé en cm^2.
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  • Un disque représente la surface qui est à l'intérieur d'un cercle.

    Placeholder pour Illustration : cercle rouge sur fond blancIllustration : cercle rouge sur fond blanc

    Placeholder pour Disque rouge uni sur fond blanc.Disque rouge uni sur fond blanc.

  • Pour obtenir l'aire d'un disque on multiplie son rayon par lui-même, puis par π.
  • Si le rayon est noté R et l'aire A, on a la formule :
    • A = \pi \times R \times R
    • Aire = \pi \times rayon \times rayon
Exemple : L'aire d'un disque de rayon 3 cm vaut environ 3,14 \times 3 cm \times 3 cm = 3,14 \times 3 \times 3 cm^2 = 28,26 cm^2.

Remarque : 
La formule A = \pi \times R \times R permet de donner une valeur exacte de l'aire. Ainsi, un cercle de rayon 4 cm a une aire mesurant exactement 16 \pi \times cm^2.
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Mesurer l'aire d'un disque

Donner une valeur approchée de l'aire de ce disque.
  • On mesure le rayon : 1,2 cm.
  • On calcule : 3,14 \times 1,2 cm \times 1,2 cm = 4,5216 cm^2.
L'aire du disque vaut donc environ 4,5216 cm^2.
Placeholder pour Illustration : règle jaune mesurant un cercle bleu.Illustration : règle jaune mesurant un cercle bleu.
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Exercice 15
Aire d'un disque

Placeholder pour Illustration : trois disques colorés (jaune, rose, vert) de tailles différentes, chacun avec une croix grise au centre.Illustration : trois disques colorés (jaune, rose, vert) de tailles différentes, chacun avec une croix grise au centre.


Placeholder pour Illustration : deux disques colorés, un orange et un violet, de tailles différentes.Illustration : deux disques colorés, un orange et un violet, de tailles différentes.

Donner une valeur approchée de l'aire de chaque disque.
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Exercice 16
Donner l'aire d'un disque de rayon

1. 3 cm.
2. 5,4 km.
3. 12 m.
4. 42 mm.
5. 57,75 dm.
6. 87,2 mm.
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