Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
- On « déroule » le carré.
  
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Si un carré ou un losange a des côtés de longueur c, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
- Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 \times 3,2 cm = 12,8 cm.

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Mesurer le périmètre d'un carré

Quel est le périmètre du carré suivant ?

On mesure un côté : il vaut 2 cm.
Les quatre côtés sont de longueur égale.

Le périmètre vaut donc 4 \times 2 cm = 8 cm.

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Exercice 4
Périmètre d'un quadrilatère

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1. Donner leur périmètre.

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Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur.
- On « déroule » le rectangle :
  
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Si un rectangle a un côté de longueur l et un autre côté de longueur L, alors son périmètre sera l + L + l + L = 2 × (l + L).
On peut aussi le calculer différemment : l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L).
- Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure : - 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
  - 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

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Mesurer le périmètre d'un rectangle

Quel est le périmètre du rectangle ?

On mesure le petit côté : 1,3 cm.
On mesure le grand côté : 2 cm.

On calcule le périmètre : 2 \times (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d'un rectangle.

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Exercice 5
Périmètre d'un rectangle

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Donner leur périmètre.

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B
Aire d'un carré et d'un rectangle

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a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l'unité d'aire (u.a.) à l'aire d'un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d'aire 1 u.a.
c. En déduire l'aire du carré de 5 cm de côté.

Remarque :
Ici, 1 u.a. = 1 cm^2.

Jeune femme qui dit: Je connais beaucoup d'homophones du mot aire. Combien y en a-t-il en tout?

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L'aire d'un carré est le produit de la longueur d'un côté par elle-même.
Si un carré a un côté de longueur c, l'aire A vaut donc :
- A = c \times c
- Aire = côté \times côté

Remarque :
Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

cm \times cm = cm^2
m \times m = m^2
km \times km = km^2

Exemple : L'aire d'un carré de 3 cm de côté est 3 cm \times 3 cm = 3 \times 3 cm^2 = 9 cm^2.

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Calculer l'aire d'un carré

Quelle est l'aire de ce carré ?

On mesure la longueur d'un côté : 2 cm.
On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm \times 2 cm = 4 cm^2.

L'aire vaut donc 4 cm^2.

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Exercice 6
Aire d'un carré

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Donner leur aire.

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Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l'intérieur. Pouvait-on s'y attendre ?

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L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
- A = longueur \times largeur

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Remarque :

Dans le cas d'un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
Si un rectangle est de longueur l et de largeur L, alors l'aire du rectangle A vaut : A = l \times L.

Exemple : Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm \times 5 cm = 3 \times 5 cm^2 = 15 cm^2.

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Calculer l'aire d'un rectangle

Quelle est l'aire de ce rectangle ?

La longueur mesure 2,2 cm.
La largeur mesure 1,5 cm.
On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm \times 1,5 cm = 3,3 cm^2.

L'aire vaut donc 3,3 cm^2.

Refaire : Calculer l'aire d'un rectangle.

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Exercice 7
Aire d'un rectangle

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Donner leur aire.

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Exercice 8
Donner l'aire d'un rectangle

1. De dimensions 4 km par 7,6 km.

2. De dimensions 2,3 m par 4,2 m.

3. De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.

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C
Aire d'un triangle

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a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l'aire d'un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

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L'aire d'un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l'angle droit, divisé par deux.
Si l'on appelle la longueur de l'un des côtés adjacents a et celle de l'autre côté adjacent b, l'aire A du triangle rectangle vaut donc :
- A = ( a \times b ) \div 2
- A = \dfrac{ a \times b}{2}

Exemple : Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm \times 7 cm) \div 2 = ((3 \times 7) \div 2) cm^2 = 21 \div 2 cm^2 = 10,5 cm^2.

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Mesurer l'aire d'un triangle rectangle

Quelle est l'aire de ce triangle rectangle ?

On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
On mesure l'autre côté adjacent : 2,3 cm.
On calcule : (1,1 cm \times 2,3 cm) \div 2 = 1,265 cm^2.

L'aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm^2.

Refaire : Mesurer l'aire d'un triangle rectangle.

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Exercice 9
Aire d'un triangle rectangle

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Donner leur aire.

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Exercice 10
Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

1. 4 m et 8,2 m.

2. 7,3 cm et 5,1 cm.

3. 42 mm et 21,3 mm.

4. 1,3 km et 0,89 km.

5. 21,3 hm et 2,38 hm.

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a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l'aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l'aire du grand triangle.

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Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
- Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
On peut obtenir l'aire d'un triangle dont on connaît la longueur d'une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l'aire du triangle vaut :
- Aire = (support \times hauteur) \div 2
- A = \dfrac{s \times h}{2}

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Exemple : Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l'aire du triangle vaut (7 cm \times 10 cm) \div 2 = (7 \times 10) \div 2 cm^2 = 35 cm^2.

Remarque :

La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l'exemple ci-contre :
Le calcul de l'aire se fait de la même manière : (hauteur \times support) \div 2.

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Mesurer l'aire d'un triangle

Quelle est l'aire du triangle ci-contre ?

On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
On calcule : (1,3 cm \times 2,3 cm) \div 2 = 1,495 cm^2.

L'aire du triangle est donc de 1,495 cm^2.

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Exercice 11
Donné l'aire de chaque triangle

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En utilisant la hauteur qui est tracée.

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Exercice 12
Donner l'aire d'un triangle dont...

1. la hauteur mesure 2,1 m et son support 0,35 m.

2. la hauteur mesure 3,5 mm et son support 4,2 mm.

3. la hauteur mesure 2,3 cm et son support 8,74 cm.

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