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Chapitre 12
Les maths autrement
Le triangle de Sierpiński
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Présentation
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Waclaw Sierpiński
Waclaw Sierpiński (1882-1969) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom à plusieurs courbes fractales, notamment le triangle de Sierpiński.
Une fractale est un objet qui se répète à l'infini : en zoomant sur une partie le tout réapparait.
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- Je représente des objets et des figures géométriques
- J'argumente et j'échange sur une démarche mathématique
- J'utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution
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Étape 1Découverte et construction
L'étape 0 débute avec un triangle équilatéral ABC. L'étape 1 renvoie la figure formée des trois images de la figure de l'étape 0 par les homothéties de rapport 0,5 et de centre A, B et C. Les images du triangle de départ sont représentées ci-dessous en orange, vert et bleu.
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1. Construisez le triangle de Sierpinski à l'étape 4 en prenant un triangle ABC de 16 cm de côté.
2. Combien y a-t-il de triangles noirs à l'étape 4 ?
3. Pour une étape n donnée, déterminez le nombre de triangles noirs en fonction de n.
2. Combien y a-t-il de triangles noirs à l'étape 4 ?
3. Pour une étape n donnée, déterminez le nombre de triangles noirs en fonction de n.
4. Quelle fraction de l'aire du triangle ABC est coloriée à l'étape 4 ?
5. Pour une étape n donnée, déterminez, en fonction de n, la fraction de l'aire du triangle ABC qui est coloriée.
5. Pour une étape n donnée, déterminez, en fonction de n, la fraction de l'aire du triangle ABC qui est coloriée.
6. Construction avec un logiciel de géométrie dynamique.
a. Débutez avec un triangle ABC. Créez les images du triangle par les homothéties de centre A, B et C et de rapport 0,5 .
b. Vous pouvez à présent créer un nouvel outil. Les objets finaux sont les trois images ; l'objet initial est le triangle ABC.
c. Utilisez cet outil pour créer la fractale avec le logiciel : sélectionnez l'outil puis cliquez sur le triangle que vous souhaitez...
a. Débutez avec un triangle ABC. Créez les images du triangle par les homothéties de centre A, B et C et de rapport 0,5 .
b. Vous pouvez à présent créer un nouvel outil. Les objets finaux sont les trois images ; l'objet initial est le triangle ABC.
c. Utilisez cet outil pour créer la fractale avec le logiciel : sélectionnez l'outil puis cliquez sur le triangle que vous souhaitez...
GeoGebra
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Étape 2Le tétraèdre de Sierpinski
Voici à quoi ressemble, à l'étape 3, un tétraèdre de Sierpinski :
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1. Si chaque élève de la classe construit deux tétraèdres, peut-on réaliser cette construction ?
2. Jusqu'à quelle étape peut-on construire un tétraèdre de Sierpinski si chaque élève du collège construit deux tétraèdres ?
2. Jusqu'à quelle étape peut-on construire un tétraèdre de Sierpinski si chaque élève du collège construit deux tétraèdres ?
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