Dieux égyptiens

Les Égyptiens utilisaient des symboles pour compter. Le symbole suivant représente par exemple \text{2~524}.

Les Égyptiens utilisaient déjà les fractions. Une légende y fait d'ailleurs référence : celle de l'œil d'Horus. Osiris est le premier souverain d'Égypte. Son frère Seth est jaloux et le tue pour s'approprier le trône. Une fois adulte, le fils d'Isis et d'Osiris, Horus, veut venger son père et se bat avec Seth. Au cours d'un combat, ce dernier arrache l'œil gauche d'Horus, le coupe en morceaux et le jette dans le Nil.

Six morceaux sont récupérés par Thot, le dieu lunaire. Chaque morceau de lʼœil dʼHorus représente une fraction :



1. Calculez la somme de ces six fractions.

2. Quelle fraction manquait-t-il pour obtenir 1 ? Mis à part \frac{2}{3} et \frac{3}{4}, les fractions égyptiennes sont unitaires, cʼest-à-dire que le numérateur vaut \text{1}.

3. Comment peut-on écrire \dfrac{3}{4} sous la forme dʼune somme de fractions unitaires distinctes ?

En 1202, Léonard de Pise (1175-1250), dit « Fibonacci », écrit un algorithme pour décomposer nʼimporte quelle fraction en une somme de fractions égyptiennes, toutes différentes. Le principe est le suivant : Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction unitaire possible, répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'opération donne une fraction égyptienne. Nous allons appliquer sa méthode sur Scratch, avec des fractions inférieures à 1.

1. Le lutin doit demander la valeur du numérateur et affecter cette valeur à une variable \text{N} puis faire de même pour le dénominateur \text{D} de la fraction de départ.

2. Une troisième variable i, qui vaut 2 au départ, sert de dénominateur à tester pour soustraire à la fraction dʼorigine la plus grande fraction unitaire possible.

3. Réorganisez les blocs dans le document Scratch de lʼexercice pour créer un algorithme tel que :

• Tant que \dfrac{\text{N}}{\text{D}} \neq \dfrac{1}{i}, il teste si \dfrac{\text{N}}{\text{D}} \text{\textgreater} \dfrac{1}{i}.
  • Si c'est le cas, il affiche i quelques secondes. On attribue alors le numérateur de \dfrac{\text{N}}{\text{D}} - \dfrac{1}{i} à \text{N} et le dénominateur de \dfrac{\text{N}}{\text{D}} - \dfrac{1}{i} à \text{D}.
  • Si ce n'est pas le cas, il ajoute 1 à i.
• Normalement, l'instruction se répète jusqu'à ce que \dfrac{\text{N}}{\text{D}} soit une fraction unitaire.

4. Testez votre programme avec \dfrac{2}{7}.