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Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Fonctions
Ouverturep. 213
Je découvre le chapitre
Introductionp. 214-215
J'apprends
Coursp. 216-219
Questions Flash / Je m'entraine
Exercicesp. 220-225
Problèmes résolus
Problèmesp. 226
Problèmes résolus
Problèmesp. 227
Je résous des problèmes
Exercicesp. 228-233
Exercices numériques
Exercicesp. 234
Maths autrement : Méthodes de cryptage
Travailler autrementp. 235
Je m'évalue
Exercicesp. 236
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
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Dossier brevet
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Dossier d'actualité
Chapitre 10
Exercices

Questions Flash - Je m'entraine

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Questions flash

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1. Lʼimage de 2 par \bm{f} est...
fonction f qui passe par -2 et 2 sur l'axe de abscisses est 4 sur l'axe des ordonnées
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2. Quelles propositions sont vraies ?




3. Le point A (3 ; 2)...




4. Le point B (\bm{−1} ; \bm{3})...




5. On donne les valeurs de \bm{f} suivantes : Quel est lʼantécédent de 2,25 par \bm{f} ?

\bm{x}-3-1,5-0,51,53
\bm{f(x)}-52,25\dfrac{17}{4}2,25-5





6. On note \bm{h}, la fonction définie par \bm{h (x) = x^2 - 5}. Lʼimage de −4 par \bm{h}...





7. On définit \bm{f : x \mapsto \dfrac{1}{5} x}. Quelles propositions sont vraies ?




8. La fonction \bm{f} a été représentée dans un repère orthogonal dʼunité 1 carreau.
La fonction f a été représentée dans un repère orthogonal dʼunité 1 carreau. Elle passe par -2,5 sur l'axe des abscisses et 1 sur l'axe des ordonnées
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9. On définit \bm{g} par \bm{g (x) = 5 - 2x}.



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Je m'entraine

Généralités
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1
ABCD est un carré de côté \bm{x ( x > 0 )}.

1.  On note y lʼaire du carré ABCD ( y > 0 ). Exprimez y en fonction de x.
2.  Remplissez le tableau suivant.

Côté du carré (cm) 11,522,53
Aire du carré (\mathbf{cm^2})

3.  f est la fonction qui, au côté x dʼun carré, associe son aire. Complétez f : x \mapsto

4.  Quelle est lʼimage de 2 par f ? Quelle est lʼimage de 1 par f ?
5.  Donnez un antécédent de 9 par f. Donnez un antécédent de 6,25 par f.
6.  Que vaut f (1\text{,}5) ?
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2
Exprimez sous la forme \bm{f : x \mapsto f (x)}.

✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement

1.  f est la fonction qui, à tout x, associe son cube.
2.  f est la fonction qui, à tout x, associe sa moitié, de laquelle on retranche 7.
3.  f est la fonction qui, à tout x, associe son carré, auquel on ajoute 8.
4.  f est la fonction qui, à tout x, associe x - 3 que multiplie \dfrac{2}{3} .
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3
EFGH est un rectangle de largeur \bm{x} et de longueur \bm{x + 3} avec \bm{x > 0}.

✔ Je mène à bien un calcul littéral

1.  On note y lʼaire du rectangle EFGH (y > 0). Exprimez y en fonction de x et réduisez lʼexpression obtenue.
2.  f est la fonction qui, à la largeur x, associe lʼaire de EFGH. Complétez : f : x \mapsto


3.  Calculez lʼaire de EFGH pour x = 5 cm. Calculez lʼaire de EFGH si sa largueur mesure 12 cm.
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4
\bm{C} est un cercle de centre O et de rayon \bm{x (x > 0)}.

1.  Rappelez la formule du périmètre dʼun cercle, et celle de lʼaire du disque associé.
2.  f est la fonction qui, au rayon x dʼun cercle, associe son périmètre et g est la fonction qui, au rayon x dʼun disque, associe son aire. Exprimez f et g en fonction de x.
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5
On définit \bm{f} la fonction qui, à la vitesse \bm{x} dʼune voiture, associe la distance parcourue en 20 min (\bm{x > 0}).

1.  Rappelez la relation qui lie vitesse, distance et temps. Ici, quel paramètre connait-on ?
2.  Parmi les deux paramètres restants, lequel exprime-t-on en fonction de lʼautre ?
3.  Exprimez f en fonction de x.
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6
On définit la fonction \bm{f : x \mapsto \dfrac{ 1}{ 2}x - 5}. Les points suivants appartiennent-ils à la droite représentative de \bm{f} ?

1.  A (1 ; −4)



2.  B (0 ; 5)



3.  C (\dfrac{1}{2} ; -\dfrac{19}{4})



4.  D (−8 ; 12)

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7
On définit \bm{f} la fonction dont le tableau suivant donne quelques valeurs.

✔ J'émets une hypothèse

\bm{x} -3  -2  0  1  2  3 
\bm{f (x)} -\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}-1-2

1.  Quelle est lʼexpression de la fonction f ?




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8
Savoir refaire
Les points suivants appartiennent-ils à la droite dʼéquation \bm{y = - 2x + 3} ?

✔ Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation

1.  A (4 ; - 5)



2.  B ( \dfrac{1}{2} ; - 4)



3.  C ( -1 ; 5)



4.  D (-\dfrac{1}{3} ; 4)

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Calculs d'images et antécédents
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9
On définit \bm{f : x \mapsto x^2 - 3}.

1.  Calculez f (-3) et f (3), f(-2) et f (2), f (-1) et f (1) et f (0).
2.  Que remarquez-vous ?
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10
Soit \bm{f : x \mapsto 7x + 2}.

✔ Je mène à bien un calcul littéral

1.  Calculez lʼimage par f des nombres suivants : –1 ; 0 ; 3 ; 4.
2.  Déduisez-en un antécédent de -5 par f. Quelle est lʼimage de -5 par f ?
3.  Déterminez le ou les éventuels antécédents par f des nombres suivants : 9 ; 16 ; 37.
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11
Vrai ou faux ?

Soit f : x \mapsto 4x - 13

1.  Lʼimage de 13 par f est 0.



2.  Lʼimage de 13 par f est le triple de 13.



3.  Lʼimage de 4 par f est le triple de 4.



4.  0 a deux antécédents par f.



5.  6,5 est lʼantécédent de 13 par f.

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12
Soit \bm{f : x \mapsto x^2 -3x +2}.

✔ Je représente des données sous forme de série statistique, de courbes, de schémas

On souhaite tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal dʼunité 1 carreau.

1.  Complétez le tableau de valeurs suivant.

\bm{x}-2,5-2-10122,5
\bm{f(x)}

2.  Calculez f (-5) et f (5).
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13
Savoir refaire
Ce tableau de valeurs détermine la fonction \bm{f}.

✔ J'extrais et j'exploite les informations utiles d'un document

\bm{x} 0 0,5  1  1,5  2  3  4,5  5 
\bm{f(x)} 6   5 3  2 0  -1   1 3 

1.  Quelle est lʼimage de \dfrac{3}{2} par f ? De \dfrac{1}{2} ?
2.  Donnez un antécédent de 0 et de 1 par f ?
3.  Que vaut f (5) ? f (3) ? f (0) ?
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14
Pour chacune des fonctions suivantes :

  • f : x \mapsto 0\text{,}25x

  • g : x \mapsto \dfrac{ 4}{ 5}x - \dfrac{ 1}{ 5}

  • h : x \mapsto 2x^2 - 1

  • p : x \mapsto x^2 - 3x +4

1.  Complétez le tableau suivant.

\bm{-3}\bm{-2}\bm{-1}\bm{0}\bm{1}\bm{2}\bm{3}\bm{4}
\bm{f}
\bm{g}
\bm{h}
\bm{p}

2.  Tracez une représentation graphique de la fonction.
3.  Dans quel cas auriez-vous pu la tracer avec moins de points ?
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15
Soit \bm{f : x \mapsto 2x + 7}.

✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème

1.  Le points de coordonnées A (0 ; 7) appartient-il à C_f ?



2.  Le points de coordonnées B (4 ; 5) appartient-il à C_f ?



3.  Le points de coordonnées C (6 ; 7) appartient-il à C_f ?



4.  Calculez y tel que D (3 ; y) appartienne à C_f .
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16
Soit \bm{f : x \mapsto -\dfrac{ 1}{ 3}x + 4}.

1.  Le point A (3 ; 3) appartient-il à C_f ?



2.  Le point B (0 ; 2) appartient-il à C_f ?



3.  Le point C (9 ; 1) appartient-il à C_f ?



4.  Calculez y tel que D (–6 ; y) appartienne à C_f .
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17
Soit \bm{f : x \mapsto \dfrac{ 1}{x} -1}.

1.  Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 ?



2.  Quelle est lʼimage par f des nombres suivants : -2 \text{; } -1 \text{; } \dfrac{1}{4} \text{; } \dfrac{1}{2} \text{; } 1 \text{; } 2 ?
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18
Savoir refaire
Soit \bm{f : x \mapsto x^2 - 1}.

✔ Je mène à bien un calcul littéral

1.  Calculez lʼimage par f de -1 ; 0 ; 2 ; 3.
2.  Déterminez les antécédents de 3 ; 8 ; 15 ; et 24 par f.
3.  −2 a t-il un antécédent par f ? Pourquoi ?
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19
Savoir refaire
Soit \bm{f : x \mapsto \dfrac{3x - 2}{x}}.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

1.  Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 ? Pourquoi ?
2.  Calculez lʼimage par f de −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 7.
3.  Déterminez le ou les éventuels antécédents de −1 ; 1 ; 7 par f.
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20
Soit \bm{f : x \mapsto \dfrac{x + 3}{ 2}} et \bm{g : x \mapsto x^2 - 2x + 1}.

✔ Je représente des données sous forme de série statistique, de courbe ou de schéma

1.  Complétez les tableaux de valeurs suivants :

\bm{x}
-2
02
\bm{f(x)}0
1
3

\bm{x}
-10
23
\bm{g(x)}9
0

2.  Représentez ces deux fonctions dans le même repère orthogonal de deux couleurs différentes.
3.  C_f et C_g ont-elles des points dʼintersection ? Si oui, donnez leurs coordonnées.
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21
Soit \bm{f : x \mapsto -3x + \dfrac{ 1}{ 3}}.

1.  Quelle est la nature de f ?
2.  Quelle est lʼimage de 1 par f ? De 3 ? De 7 ?
3.  Déterminez les antécédents éventuels de 0 et \dfrac{1}{3} par f.
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Lecture graphique d'images et d'antécédents
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22
Savoir refaire
\bm{f} est la fonction dont la représentation graphique est la suivante.

✔ Je comprends une modélisation numérique ou géométrique d'une situation

Représentation graphique de la fonction f. Elle passe par -5 et 1 sur l'axe de abscisses et par -2 sur l'axe des ordonnées.
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1.  Lisez sur la courbe les images de −4 ; 0 ; 3 ; −5 ; et 2 par f.
2.  −6 a-t-il un antécédent par f ? −4 a-t-il un antécédent par f ?
3.  Combien dʼantécédents −3 a-t-il par f ?
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23
\bm{f} est la fonction dont la représentation graphique est la suivante :

Représentation graphique de la fonction f. Elle passe par -1 et entre 0 et 1 sur l'axe des abscisses, par -1 sur l'axe des ordonnées et par le point (-3 ; 3)
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1.  Complétez le tableau de valeurs suivant par lecture graphique.

\bm{x}-4
-1,5
0
\bm{f(x)}
3
0

2.  Complétez les phrases suivantes :

0 est lʼ
 de -1 par f.
3 est lʼ
 de
par f.
2 semble avoir
antécédents par f.
-4 est un(e)
de 2 par f.
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24
Vrai ou faux ?

La représentation graphique de la fonction f est donnée suivante. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Corrigez-les si nécessaire.
Représentation graphique de la fonction f. Elle passe par 1 et 2 sur l'axe des abscisses, par 2 sur l'axe des ordonnées et par (3 ; 4)
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1.  Lʼimage de 0 par f est 2.



2.  0 a deux antécédents par f.



3.  -\dfrac{1}{4} a un antécédent par f.



4.  Lʼimage de 1 par f est 0.



5.  −2 a deux antécédents par f.



6.  Tout nombre strictement supérieur à -\dfrac{1}{4} a deux antécédents par f.

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25
Savoir refaire
Lecture graphique d'images et d'antécédents.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
Représentation graphique de quatre droites dans un repère orthonormé : d1, d2, d3 et d4.
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1.  Déterminez le coefficient directeur et lʼordonnée à lʼorigine de ces droites.

Droite\bm{d_1}\bm{d_2}\bm{d_3}\bm{d_4}
Coefficient directeur
Ordonnée à l'origine
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26
\bm{f} est la fonction dont la représentation graphique est la suivante :

Représentation graphique de la fonction f
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1.  Donnez un nombre qui a trois antécédents par f.
2.  Donnez un nombre qui a deux antécédents par f.
3.  Donnez un nombre qui a un unique antécédent par f.
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27
Soient \bm{f : x \mapsto -3x + \dfrac{ 5}{ 2}} et \bm{g : x \mapsto \dfrac{ 1}{ 4}x + 4}.

Graphique lié à l'exercice 12
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1.  Identifiez les droites représentatives de f et de g.
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Fonctions linéaires et affines
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28
Ces tableaux sont-ils des tableaux de valeurs de fonctions linéaires ?

Dans lʼaffirmative, précisez lʼexpression de la fonction.

1.  Tableau 1 :

\bm{x} 0  2   5 
\bm{f(x)} 1  4  10 

2.  Tableau 2 :

\bm{x} -3  -1  0  2 
\bm{f(x)} \dfrac{9}{4}  \dfrac{3}{4} 0 -\dfrac{3}{2}
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29
Ces deux tableaux sont des tableaux de valeurs de fonctions linéaires.

Précisez lʼexpression de la fonction.

1.  Tableau 1 :

\bm{x} -3-\dfrac{2}{2}0 5 6 
\bm{f(x)} 1 \dfrac{1}{2} 0 -\dfrac{5}{3} -2 

2.  Tableau 2 :

\bm{x}-90-10-10\dfrac{1}{2}151011,2
\bm{f(x)}910,10- 0,05- 0,1-\dfrac{1}{2}-1-1,12
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30
Les fonctions suivantes sont-elles linéaires ?

✔ J'utilise l'écriture d'un nombre la plus appropriée pour calculer

1.  f : x \mapsto 3\sqrt{2x}



2.  f : x \mapsto \left(\dfrac{3x - 1}{4}\right)x



3.  f : x \mapsto \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{6}}{2}x



4.  f : x \mapsto 6x - \dfrac{5}{2}x



5.  f : x \mapsto \dfrac{4}{5}x + 2x -1

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31
Savoir refaire
Fonctions linéaires et affines.

✔ Je me repère sur une droite, dans le plan ou dans l'espace
Représentation graphique de plusieurs fonctions dans un repère orthonormé
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1.  Déterminez la nature et lʼexpression des fonctions représentées dans le repère orthogonal précédent.
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32
Fonctions linéaires et affines.

Représentation graphique de plusieurs fonctions dans un repère orthonormé
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1.  Parmi les fonctions représentées précédemment, lesquelles sont linéaires, lesquelles sont affines ? Justifiez votre réponse.
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33
Ces fonctions sont-elles affines ?

Si oui, précisez leur coefficient directeur et leur ordonnée à lʼorigine.

1.  f : x \mapsto -\dfrac{7}{2x} +4
2.  f : x \mapsto 56\:789x - 0\text{,}345678
3.  f : x \mapsto \dfrac{x^2 - 6x}{2x} (x \neq 0)
4.  f : x \mapsto \dfrac{1 - 3x}{4}
5.  f : x \mapsto (x + 1) \times \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2}
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34
Savoir refaire
Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

✔ Je représente des données sous forme de série statistique, de courbe ou de schéma

1.  f : x \mapsto -4x + 8

2.  g : x \mapsto -\dfrac{5}{3}x + 5

3.  h : x \mapsto \dfrac{2x + 3}{5}

4.  i : x \mapsto 3\text{,}8x
Aide
Ne soyez pas déstabilisé par la fonction h. Malgré les apparences, c'est une fonction affine puisqu'elle peut s'écrire h: x \mapsto \frac{2}{5} x+\frac{3}{5}
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35
Voici 5 fonctions.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

  • f : x \mapsto 2x - 3

  • g : x \mapsto -\dfrac{1}{3}x + 4

  • h : x \mapsto -\dfrac{49}{42}x

  • i : x \mapsto \dfrac{-x - 5}{2}

  • j : x \mapsto -0\text{,}5x

1.  Quelle est leur nature ?
2.  Complétez le tableau de valeurs.

\bm{x} \bm{-3} \bm{-\dfrac{1}{2}} \bm{0} \bm{1} \bm{2}
\bm{f(x)}
\bm{g(x)}
\bm{h(x)}
\bm{i(x)}
\bm{j(x)}
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A
Exercice numérique

On considère le tableau de valeurs d'une fonction f :

 \bm{x}   -2   -1   0   1   2   3 
 \bm{f(x)}   1   -2   1   2   1   4 

1.  Quelle est l'image de 2 par f ?
2.  Combien 1 a-t-il d'antécédents par f ?
3.  Quelle est l'image de -2 par f  ?
4.  Donner un antécédent de -2 par f.
5.  Peut-on déterminer l'image de 0{,}5 par f ?
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B
Exercice numérique

On considère la fonction f définie par f(x)=3 x-4 \text {. }
1.  Calculer l'image de 5 par f .
2.  Calculer f(-2){.}
3.  Donner un antécédent de -4 par f \text {. }
4.  Déterminer un antécédent de 7 par f\text {. }
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Parcours de compétences

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Énoncé

✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement.

La fonction f est définie par f : x \mapsto 4x + 10.

1.  De quelle type de fonction s'agit-il ?
2.  Quelle est l'image de 2 par cette fonction f ?
3.  Déterminez f(-5).
4.  Déterminez les antécédents des nombres -16 et 0 par cette fonction f.
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Niveau 1

Je connais le vocabulaire mathématique et les symboles usuels.

Coup de pouce
Qu'est-ce qu'une fonction ? Quels sont les symboles qui y sont associés ?
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Niveau 2

Je décode un énoncé comportant du langage mathématique.

Coup de pouce
Avec vos propres mots, exprimez les informations qui vous sont données dans l'énoncé.
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Niveau 3

J'exprime ma réponse en utilisant les termes mathématiques appropriés.

Coup de pouce
Que me demande-t-on de trouver à chaque étape de l'exercice ?
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Niveau 4

J'utilise à bon escient le langage mathématique et le langage naturel.

Coup de pouce
Différenciez les questions qui nécessitent une phrase réponse et celles auxquelles vous pouvez répondre uniquement avec un calcul.

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