Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850) est un astronome perse. Ayant aussi rédigé plusieurs ouvrages de mathématiques, Al-Khwarizmi est connu comme le père de l'algèbre.
L'algèbre est une branche des mathématiques qui permet de traiter des équations grâce aux propriétés des opérations.

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Compétences travaillées

Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement.
Je mène à bien un calcul littéral.
J'envisage plusieurs méthodes de résolution.

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Étape 1
Les équations du monde musulman

Nous allons utiliser les trois règles de base expliquées au calife par Al-Khwarizmi dans son ouvrage L'Abrégé du calcul par al-jabr et al-muqabala. Son livre ne contient aucun chiffre, toutes les équations sont exprimées avec des mots. Al-Khwarizmi pose un problème de cette manière : « Quand tu ôtes cinq dirhams à sept shay, tu obtiens sept dirhams et deux shay. »
Dans les problèmes dʼAl-Khwarizmi, les dirhams représentent les nombres connus (ou termes constants) et shay signifie « la chose », cʼest lʼinconnue.

1. Modélisez ce problème par une équation.

2. Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser al-jabr (la restauration). Il sʼagit de faire disparaitre les soustractions de lʼéquation. Quelle équation obtenez-vous alors ?

3. Ensuite, al-muqabala (lʼéquilibre) permet de retrancher aux deux membres des termes égaux, il sʼagit dʼune simplification. Avec les notations modernes, quelle équation, de la forme ax = b, obtenez-vous ?

4. Il suffit ensuite dʼappliquer al-hatt pour obtenir la valeur de shay : cʼest la division des deux membres par un même nombre. Concluez en donnant la solution du problème.

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Étape 2
Une équation chinoise

Au III^e siècle av. J.-C., les Chinois nʼécrivaient pas dʼéquation. Ils utilisaient une méthode géométrique permettant de déterminer la longueur du carré inscrit dans un triangle rectangle.

1. En utilisant les équations.

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a. Sachant que les longueurs du grand triangle sont proportionnelles aux longueurs du triangle bleu, écrivez une égalité liant x à a et b.

b. Déduisez-en lʼexpression de x en fonction de a et b.

2. Liu Hui a construit un deuxième triangle rectangle identique.

a. Écrivez lʼaire totale S en fonction de a et de b.

2 triangles rectangles l'un sur l'autre.

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Voici les mêmes pièces assemblées autrement.

Image d'une autre figure avec les mêmes pièces que pour les figures précédentes.

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b. Retrouvez alors lʼexpression de x en fonction de a et b.

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