Théorème de Thalès et triangles semblables

Si les points \text{A}, \text{M}, \text{B} et \text{A}, \text{N}, \text{C} sont alignés dans le même ordre et que les rapports \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} , \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} et \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}} sont égaux, alors les droites (\text{MN}) et (\text{BC}) sont parallèles.

• On calcule les rapports séparément afin de les comparer. Il faut que les deux conditions (l'égalité des trois rapports et l'ordre des points) soient vérifiées pour conclure sur le parallélisme.
• Si l'une des deux conditions n'est pas vérifiée alors les droites ne sont pas parallèles.

On sait que les droites (\text{GN}) et (\text{FM}) sont sécantes en \text{E} et, de plus, que (\mathrm{MN}) / /(\mathrm{GF}).
D'après le théorème de Thalès, \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{EM}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{EN}}=\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{MN}}.
Ainsi, \frac{\mathrm{EF}}{2}=\frac{4,5}{\mathrm{EN}}=\frac{2,7}{2,5}.
D'où \mathrm{EF}=\frac{2 \times 2,7}{2,5}=2,16 \: \mathrm{cm} et \mathrm{EN}=\frac{4,5 \times 2,5}{2,7}=\frac{25}{6} \approx 4,17 \: \mathrm{cm}.

• On écrit les conditions d'application du théorème.
• On écrit ensuite les égalités des rapports.
• On calcule les valeurs manquantes à l'aide de produits en croix.

1. Les points \text{O}, \text{B}, \text{C} et \text{O}, \text{D}, \text{E} sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{7,2}{10,8}=\frac{2}{3} et d'autre part, {\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OE}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}.

Comme \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OE}}, alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (\mathrm{BD}) et (\mathrm{CE}) sont parallèles.

2. Les points \text{F}, \text{O}, \text{D} et \text{G}, \text{O}, \text{B} sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} et d'autre part, \frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OB}}=\frac{3}{7,2}=\frac{5}{12}.
Comme \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{OD}} \neq \frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OB}}, alors, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée donc les droites (\mathrm{FG}) et (\mathrm{BD}) ne sont pas parallèles.

• On vérifie que les points sont alignés dans le même ordre
• On compare les rapports séparément.
• Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles. Si les rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.
• On conclut.

Si, pour une figure \text{F} donnée, on multiplie toutes les longueurs par un nombre k strictement positif, alors on obtient :

• un agrandissement si k \gt 1 ;
• une réduction si 0 \lt k \lt 1.




Lors d'un agrandissement (ou d'une réduction) de rapport k :

1. la mesure des angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés ;

2. les aires sont multipliées par k^2.

Si k=1 alors la figure reste identique.

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.

Sachant que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, il est suffisant de démontrer l'égalité pour deux paires d'angles, l'égalité des troisièmes s'en déduisant.

Sur la figure ci‑dessous, comme \widehat{\mathrm{TRI}}=\widehat{\mathrm{GAN}}, \widehat{\mathrm{RTI}}=\widehat{\mathrm{GNA}} et \widehat{\mathrm{RIT}}=\widehat{\mathrm{AGN}}, alors les triangles \text{TRI} et \text{AGN} sont semblables.

Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.

Ce coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d'agrandissement ou de réduction.

1. \mathcal{A}=\frac{4,5 \times 6}{2}=13,5 \: \mathrm{cm}^{2}.

2. Le coefficient d'agrandissement est 230 donc \mathcal{A}^{\prime}=13,5 \times 230^{2}=714\:150 \: \mathrm{cm}^{2}=71,415 \: \mathrm{m}^{2}.

3. Le coefficient de réduction est \frac{1}{230}.
575 \times \frac{1}{230}=2,5. Sur le plan, le chemin mesure 2,5 cm.

Remarque : En multipliant toutes les longueurs par 230, on retrouve le même résultat en appliquant la formule de l'aire.

1. On utilise la formule {\mathcal{A}_{\text {triangle }}=\frac{\text { base } \times \text { hauteur }}{2}}.

2. Si 1 cm sur le plan représente 2,3 m, soit 230 cm, dans la réalité, alors le coefficient d'agrandissement est k = 230. Ainsi, les aires sont multipliées par k^2.

3. Si 1 cm représente 2,3 m, soit 230 cm, dans la réalité, alors le coefficient de réduction est k^{\prime}=\frac{1}{230}. Les longueurs sont multipliées par k^{\prime}.

1. Dans le triangle \text{ABC}, \widehat{\mathrm{ACB}}=180-48-50=82^{\circ}. On remarque que \widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{EFD}} et \widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{EDF}}. Donc les triangles \text{ABC} et \text{DEF} sont semblables.

2. Le triangle \text{GHI} est isocèle en \text{G} donc \widehat{\mathrm{GHI}}=\widehat{\mathrm{GIH}}=\frac{180-58}{2}=61^{\circ}. Le triangle \text{KJL} est isocèle en \text{K} donc \widehat{\mathrm{KJL}}=\widehat{\mathrm{KLJ}}=58^{\circ} et \widehat{\mathrm{JKL}}=64^{\circ}. Les angles ne sont pas deux à deux égaux, donc les triangles \text{GHI} et \text{JKL} ne sont pas semblables.

1. On détermine la mesure du troisième angle d'un des triangles en utilisant la somme des mesures des angles d'un triangle qui est égale à 180°. On compare ensuite les angles deux à deux. On conclut.

2. On détermine la mesure de chacun des angles en utilisant les propriétés des triangles isocèles. On compare les mesures d'angles des deux triangles. On conclut.