Représenter et étudier des fonctions exponentielles de base \boldsymbol{q}: \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{q}^{\boldsymbol{x}}

Utiliser les propriétés opératoires des exponentielles.
Soient q un réel strictement positif et différent de 1, x et y deux nombres réels.
On peut simplifier l'écriture de certaines expressions grâce aux propriétés suivantes.

• q^{x} \times q^{y}=q^{x+y}


• q^{-x}=\frac{1}{q^{x}}


• \frac{q^{x}}{q^{y}}=q^{x-y}


• \left(q^{x}\right)^{y}=q^{x \times y}

Déterminer si une fonction exponentielle est croissante ou décroissante.

1. Déterminer la valeur de q dans l'expression f(x) = q^{x}.
2. Si q > 1, la fonction est croissante sur \R.
Si q \lt 1, la fonction est décroissante sur \R.
Si q = 1, la fonction est constante sur \R et est égale à 1.

Représenter et étudier la fonction logarithme décimale : \boldsymbol{x} \mapsto \log (\boldsymbol{x})

Résoudre des équations ou des inéquations du type \boldsymbol{q}^{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{a}, \log (\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a}, \boldsymbol{q}^{x} \geqslant \boldsymbol{a} \text { ou } \log (\boldsymbol{x}) \geqslant \boldsymbol{a}

1. Suivant la situation, utiliser le fait que 10^{\log (x)}=x \text { ou que } \log \left(q^{x}\right)=x \log (q).
2. Dans le cas d'une inéquation, attention à bien changer le sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif. En particulier, il faut être vigilant au signe des logarithmes décimaux : \log(a) est positif si a > 1, mais négatif si 0 \lt a \lt 1 .

Exemples :

Réviser les notions de ce chapitre grâce à cette activité interactive.
Pour une utilisation optimale, réaliser l'activité en plein écran.